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Mathematiques 1 session 2017 mpma102

SESSION MPMA EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP MATHEMATIQUES Mardi mai h - h N B le candidat attachera la plus grande importance à la clarté à la précision et à la concision de la rédaction Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d ? énoncé il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu ? il a été amené à prendre Les calculatrices sont interdites Le sujet est composé de deux exercices et d ? un problème tous indépendants CEXERCICE On dé ?nit deux fonctions ?? la fonction f de R dans R par f x y sin x ?? y ?? la fonction g de R dans R par g x y x y x ?? y Q Justi ?er que les fonctions f et g sont di ?érentiables en tout vecteur x y ?? R et écrire la matrice jacobienne de f puis de g en x y Q Pour x y ?? R déterminer l ? image d ? un vecteur u v ?? R par l ? application linéaire d f g x y en utilisant les deux méthodes suivantes en calculant f g en utilisant le produit de deux matrices jacobiennes EXERCICE On admet que ? n n ? et on pose A N ? ? N ? Q Démontrer que la famille p q est sommable et calculer sa somme p q ??A Q Démontrer que la famille p q n ? est pas sommable p q ??A PROBLÈME Séries trigonométriques Il est utile en physique notamment pour étudier des spectres d ? énergie ou pour décomposer un signal périodique en harmoniques de pouvoir écrire une fonction périodique en somme d ? une série de fonctions trigonométriques Nous allons nous intéresser à l ? aspect mathématique de cette décomposition pour les fonctions de période ? Dans ce qui suit on appelle ??série trigonométrique ? une série de fonctions du type an cos nx bn sin nx o? an et bn sont deux suites de réels Dans la première partie on étudie quelques exemples Dans la deuxième partie on s ? intéresse plus particulièrement aux séries trigonométriques qui convergent normalement sur R On notera C ? l ? espace vectoriel des fonctions continues et ?- périodiques de R dans R Pour une fonction f élément de C ? on notera pour tout entier naturel n n f ? ? f x cos nx dx ?? ? et ?n f ? ? f x sin nx dx ?? ? CPartie I - Exemples Q Démontrer que la série trigonométrique n cos nx n sin nx converge normalement sur R Pour tout entier p ? déterminer la somme de la série eix n puis en déduire la valeur de n ? p ? n n cos nx n sin nx il n ? est pas utile de réduire au même dénominateur Q Écrire la fonction x ? exp cos x