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Td4 corrige 9 Université Paris Diderot ?? L MIASHS T D - corrigé Feuille no Statistiques Inférentielles corrigé Rappels méthode de maximum de vraisemblance déf fonction de vraisemblance loi discrète loi à densité log-vraisemblance déf estimation du maximu

Université Paris Diderot ?? L MIASHS T D - corrigé Feuille no Statistiques Inférentielles corrigé Rappels méthode de maximum de vraisemblance déf fonction de vraisemblance loi discrète loi à densité log-vraisemblance déf estimation du maximum de vraisemblance Exercice On place n boules aléatoirement indépendamment et uniformément sur l ? intervalle Quelle est la probabilité d ? avoir k boules dans l ? intervalle Même question pour n boules dans l ? intervalle Loi des événements rares forme faible Soient n et p tels que le produit np ? est ?xé Montrer que pour n ? ? et p ? on a n pk ?? p n ??k ? e ?? ? ?k k n ?? k k Soit X ?? Poisson ? ? Calculer E X En déduire un estimateur de ? Soient X Xn i i d ?? Poisson ? Montrer que la vraisemblance est donnée par L ? x xn e ??n ? ?x xn x xn Calculer la log-vraisemblance et en déduire l ? estimateur du maximum de vraisemblance EMV de ? Quel est l ? EMV de la probabilité que X Xn Corrigé Exercice En plaçant boule uniformément sur l ? intervalle on a probabilité de l ? avoir dans l ? intervalle et probabilité de l ? avoir dans l ? intervalle en plaçant n boules aléatoirement indépendamment et uniformément la probabilité d ? avoir exactement k boules dans l ? intervalle sera n k n ??k k Dans le même esprit que la qustion précedente En plaçant n boules aléatoirement indépendamment et uniformément la probabilité d ? avoir exactement k boules dans l ? intervalle sera n k n ??k k Comme np ? on écrit p ? n et on remplace cela dans l ? expression ce qui donne n pk ?? p n ??k n ?k ? n ??k ?? k n ?? k k n ?? k n n ?k n n ?? n ?? k ?n ? ??k k nk ?? n ?? n Yiyang Yu yyu lpsm paris CUniversité Paris Diderot ?? L MIASHS T D - corrigé Quand ? ?xé n ? ? n n ?? n ?? k nk ? ? ?? n ? e ?? ? n ? ??k ?? ? n donc pour ? ?xé n ? ? n pk ?? p n ??k ? ?k e ?? ? k n ?? k k On observe la convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson Soit X ?? Poisson ? ? cela veut dire que pout tout k ?? N P X k ?k e ?? ? k Le calcul de E X peut se faire en remarquant E X ? kP X k ? k ?k k e ?? ? k k ? ?k e ?? ? ?e ?? ? ? ?k ? k ?? k k k parce que le développement en série entière de e ? s ? écrit e ? ? ?k k k Puisque E X ? pour