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T2d2 cours exp ln Lycée La Fayette Chapitre Fonction exponentielle fonction logarithme népérien Cours T D I ?? Fonction exponentielle Dé ?nition Dé ?nition Propriété admise Pour tout réel la fonction est dérivable sur Il existe une unique valeur du réel t

Lycée La Fayette Chapitre Fonction exponentielle fonction logarithme népérien Cours T D I ?? Fonction exponentielle Dé ?nition Dé ?nition Propriété admise Pour tout réel la fonction est dérivable sur Il existe une unique valeur du réel telle que Cette valeur est notée e La fonction exponentielle de base e est appelée la fonction exponentielle tout court et notée exp Remarques ? e est l'unique valeur du réel telle que la tangente à la courbe représentative de la fonction au point d'abscisse ait pour coe ?cient directeur ? à près Propriétés algébriques Propriété admise Pour tous nombres réels x et y on a a d b e c f Remarque Cette propriété a déjà été vue dans le cadre général des fonctions Dérivée et sens de variation Propriété admise La fonction exponentielle est dérivable sur et elle est égale à sa dérivée pour tout réel x Conséquence ? La fonction exponentielle est strictement croissante sur ? Pour tous réels x et y on a les équivalences suivantes Démonstration ? Pour tout réel x Donc est strictement croissante sur Remarquons que l'on peut aussi utiliser le résultat du chapitre indiquant que si la fonction est strictement croissante sur Ici et ? Idée de démonstration du second point les deux dernières équivalences sont des conséquences immédiates de la dé ?nition d'une fonction strictement croissante sur La première se déduit de la seconde En e ?et si alors ou bien ou bien et dans les deux cas la seconde équivalence entra? ne page Ccexp Conséquence Soient I un intervalle ou une réunion ?nie d'intervalles de fonction dérivable sur I Alors la fonction est dérivable sur I et pour tout et u une Démonstration Pour tout avec Donc d'après une propriété du chapitre précédent f est dérivable sur I et pour tout Exemple Soit f la fonction dé ?nie sur par Déterminer la dérivée de f II ?? Fonction logarithme népérien La fonction logarithme népérien se construit à partir de la fonction comme la fonction log logarithme décimal a été construite au chapitre à partir de la fonction Elle possède donc des propriétés tout à fait similaires et il y a même une relation mathématique simple entre ces deux logarithmes Dé ?nition On a représenté ci-dessous la fonction strictement croissante sur Graphiquement on a l'intuition du résultat suivant Propriété Dé ?nition Pour tout réel il existe un unique réel b tel que cexp a Ce réel b est appelé le logarithme népérien de a et noté page CRemarques ? La fonction logarithme népérien ln est donc dé ?nie sur l'intervalle ? On dit que les fonctions et sont réciproques l'une de l'autre Exemples à conna? tre car car Conséquences Pour tout réel ? ? ? on a l'équivalence pour tout réel b Propriété Pour tout réel Démonstration Soit x un réel tel que On a Donc Remarque Les fonctions ln et log sont donc égales à une constate multiplicative près et cette constante est strictement positive Cela permet d'obtenir à partir des propriétés déjà