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Theoreme de baire et ces applications

CPGE Lissane eddine Filière MP Laayoune COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée h L ? utilisation des calculatrices n ? est pas autorisée pour cette épreuve On attachera la plus grande importance à la clarté à la précision et à la concision de la rédaction Dé ?nitions et notations Dans tout le problème K R ou C et E F deux K- espace de normés de dimension ? Si A ? E on désigne par diamètre de A l ? élément de R ? A sup x ?? y x y ??A Si G est un K-espace vectoriel x ?? G et r on désigne par BG x r la boule de G de centre x et de rayon r Lc E F désigne l ? ensemble des applications linéaires continues de E vers F On rappelle que Lc E F muni de la norme subordonée est un espace vectoriel normé et si de plus E F alors Lc E est une algèbre normée Un espace vectoriel normé complet est dit de Banach Isom E F désigne l ? ensemble des isomorphismes de Lc E F Si f est une application et n ?? N f n désigne la dérivée nime lorsqu ? elle existe de f f ? sup f x est une norme sur l ? espace vectoriel C K x ?? Une application f E ? F est dite ouverte si l ? image directe de tout ouvert de E est un ouvert de F Soit fn une suite d ? applications de E vers F On dit que f converge simplement vers f si ??x ?? E fn x ? f x Ce problème comporte parties Une première partie o? l ? on va démontrer démontrer des propriétés qui seront utiles dans la suite Le but de la deuxième partie est de démontrer le théorème de Baire Dans un Banach toute intersection dénombrable d ? ouverts denses est dense Dans les autres parties on étudiera théorèmes importants en analyse fonctionnelle ainsi que quelques applications Première partie I Préliminaire Soit x ?? E r ?? R avec r - a Montrer que B x r x rB - b Soit f ?? L E F Montrer que f B x r f x rf B Soit A ? E Montrer que A est dense dans E ssi pour tout ouvert non vide O ? E A ?? O On suppose que E est Banach Soit An n une suite décroissante de parties fermées non vides de E telle que ? An ? Montrer que An n ??N Soit f E ? F continue et A ? E Montrer que f A ? f A On suppose dans cette question que F est Banach Montrer que Lc E F est un espace de Banach Soit G un sous espace vectoriel de E avec G E Montrer que G ? www mathlaayoune webs com Tournez la page svp mathlaayoune gmail com CCPGE Lissane eddine Filière MP Laayoune Deuxième partie II Théorème