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Universite marien ngouabi faculte des sciences et techniques departement de physique

UNIVERSITE MARIEN NGOUABI FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES DEPARTEMENT DE PHYSIQUE LICENCE DE PHYSIQUE THEORIE DES CHAMPS Paul-Sand Moussounda Année universitaire - CChapitre Formalisme tensoriel Pour aborder la théorie des champs il est utile de développer un formalisme mathématique qui sera à la base de cette nouvelle théorie Ce formalisme est celui des tenseurs Les tenseurs ont été introduits par les mathématiciens italiens Ricci et Levi-Civita Dans ce chapitre on introduit les tenseurs et on présente les rudiments de base du calcul tensoriel Mais avant d ? en arriver là il est indispensable de faire un retour à la Relativité restreinte Quadrivecteurs En Relativité restreinte le cadre spatio-temporel est décrit par la transformation spéciale de Lorentz qui permet d ? exprimer les coordonnées x ? y ? z ? t ? d ? un événement dans le référentiel galiléen ou inertiel R ? en fonction des coordonnées x y z t du même événement dans la référentiel inertiel R x ? ? x ?? ?ct y ? y z ? z t ? ? t - B D ? ? avec B CF B D ? et ? ? Composantes contravariantes et covariantes d ? un vecteur Soit E un espace vectoriel au sens mathématique du terme et soit ?? ? ? ? ? ? ? les vecteurs de base Soit ? un vecteur de cet espace L ? expression du vecteur ? dans la base de vecteurs ?? ? ? ? ? ? ? s ? écrit ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Les coe ?cients ? ? avec indice en haut sont par dé ?nition les composantes contravariantes du vecteur ? On dé ?nit les composantes covariantes ? ? avec indice en bas du vecteur ? dans la même base par ? ? ? ? ? ? ? ? On peut établir le lien entre ? ? composantes covariantes et ? ? composantes contravariantes d ? un même vecteur Soit ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Cavec ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? en vertu du caractère commutatif du produit scalaire D ? o? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Remarque Le coe ?cient ? ? ? porte le nom de tenseur fondamental qui joue un rôle important dans tous les calculs tensoriels on précisera au paragraphe suivant la dé ?nition d ? un tenseur En relativité restreinte ? ? ? est appelé tenseur métrique on précisera son expression dans les prochains paragraphes En Relativité générale Einstein lui a donné le nom de potentiel de gravitation Souvent pour alléger l ? écriture on