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Variable aleatoire continue

BTS DOMOTIQUE Variables aléatoires continues ?? Variables aléatoires continues Table des matières I Variable aléatoire continue I Notion de variable aléatoire continue I Fonction de répartition I Densité et loi de probabilité I Espérance et variance II La loi Normale II Dé ?nition et cadre naturel d ? apparition II Loi normale centrée réduite N II Utilisation de la table de la loi normale II Lien avec la loi normale II Opérations de variables suivant une loi normale http nathalie daval free fr - - CBTS DOMOTIQUE Variables aléatoires continues ?? I Variable aléatoire continue I Notion de variable aléatoire continue Dé ?nition Une variable aléatoire continue est une variable qui prend ses valeurs dans un intervalle de R Exemple Exemple de variables aléatoires qui ne sont pas discrètes Variable T correspondant à la taille d ? un élève Variable L correspondant à longueur d ? un train Variable A correspondant au temps d ? attente à une caisse I Fonction de répartition Dé ?nition Soit X une variable aléatoire on appelle fonction de répartition de X la fonction dé ?nie sur R par F x P X ? x Propriété La dé ?nition nous permet d ? écrire o F x P X ?? ?? ? x o P a ? X ? b P X ? b ?? P X ? a F b ?? F a o P X b P X ? b ?? F b Remarque On admet que pour une variable aléatoire continue pour tout a ?? R P X a On a donc ? P a X b P a X ? b P a ? X b P a ? X ? b ? P a X P a ? X b ? P X b P X ? b Propriété La fonction de répartition F d ? une variable aléatoire continue X a les propriétés suivantes o F est une fonction croissante dé ?nie et continue sur R o Pour tout x ?? R ? F x ? o lim F x et lim F x x ? ?? ? x ? ? http nathalie daval free fr - - CBTS DOMOTIQUE Variables aléatoires continues ?? I Densité et loi de probabilité Dé ?nition Dans le cas o? F est dérivable la fonction f dérivée de F est appelée densité de probabilité de X et pour tout x de R F ?? x f x Conséquences ? F étant une fonction croissante f est positive b ? P a ? X ? b F b ?? F a f x dx a a b a a ? P X ? a F a lim F a ?? F x lim f t dt f t dt x ? ?? ? x ? ?? ? x notation ?? ? a ? ? f x dx ?? ? Graphiquement l ? aire entre la courbe de f qui est une fonction positive et l ? axe des abscisses vaut Exemple Voici quelques exemples