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Deformation de la poutre flechie

CHAPITER I EQUATION DEFFRENTIELLE ? Déformation de la poutre échie Equations di ?érentielles de l ? axe élastique La détermination des déplacements des poutres échies est nécessaire pour deux raisons - le constructeur doit savoir les déplacements sous l ? e ?et des forces qui agissent sur la poutre pour évaluer sa rigidité en comparant ses déplacements avec les déplacement admissibles - la détermination des déplacements est demandée dans les calculs des système hyperstatiques largement utilisés dans les di ?érentes constructions Généralement on a deux types de déplacements Déplacement linéaires y - èche déplacements des points de l ? axe de la poutre selon la direction ? à cet axe Vu que y varie le long de l ? axe de la poutre on écrit y z au lieu de y le déplacement max est appelé èche On le note par ymax ou fmax Angles de rotation ou rotation angles entre les plans de la section droite de la poutre avant et après la déformation ou angles entre les directions de l ? axe de la poutre avant et après la déformation L ? angle dépend aussi de z c ? est pourquoi on écrit z au lieu de y z P c yz z ? ? L Axe avant déformation Tangente B z B ? Axe de la poutre z après déformation ligne élastique Fig y M y z y M y z z z M y y M y y Fig - - CCHAPITER I EQUATION DEFFRENTIELLE ? Pour déterminer la déformation d ? une poutre on pro ?te de l ? équation ? M ??z ?? ?? E ??x Qui associe la courbure de l ? axe au moment échissant et la rigidité de la section E ??x Le cours de mathématique donne la formule suivante pour la courbure d ? une ligne ?? ?? K ? ? y ?? ? y Ou y'' ? d y dz y' ? dy dz Portons la valeur de K dans la formule on obtient l ? équation exacte de l ? axe échi d ? une poutre ligne élastique d y dz ? M z ?? ?? ? ?? ? dy ? ? ? ?? E ??x ?? ? ?? dz ? ?? ?? L ? intégration de cette équation non linéaire présente de grandes di ?cultés pourtant pour la plupart des problèmes pratiques la quantité ? ?? dy ? ? ? tg ?? ? ?? ?? dz ? Peut être négligée par suite de la petitesse des déformations devant l ? unité Les valeurs réelles de angle de rotation est de l ? ordre des millièmes de radian même si on adopte rd ? y En rejetant du dénominateur de la formule y on obtient l ? équation di ?érentielle approchée de l ? axe échi ligne élastique E ??xy'' ? M z L ? équation di ?érentielle est simple sont intégration ne présente pas de di ?cultés Le choix du signe est déterminé par le système de