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Chap 01 complement algebre lineaire

Compléments d ? algèbre linéaire ? - ? Sommaire Familles de vecteurs Trace d ? une matrice Famille libre Trace de deux matrices semblables Famille génératrice Base Trace d ? un endomorphisme Propriétés Transposée d ? une matrice Sous-espaces vectoriels Somme de sous-espaces vectoriels Base adaptée Transposée Opérations sur les transposées Matrices symétriques et antisymétriques Hyperplan Sous-espaces stables Compléments Colbert lycée numérique Trace Les mathématiciens du chapitre Dans tout le chapitre E est un espace vectoriel sur ou Á de dimension ?nie ou non Les di ?érentes parties de ce chapitre formé de compléments sont indépendantes Familles de vecteurs I désigne un ensemble d ? indices non nécessairement ?ni Par exemple n F désigne la famille des ui i ??I Famille libre Dé ?nition F est libre ?? toute sous-famille ?nie de F est libre C ? est à dire ??J ? I J ?nie j uj ?? ??j ?? J j j ??J Exemple Dans X Xn n ?? est une famille libre Théorème Toute famille de polynômes non nuls échelonnée en degré est libre Démonstration En fait cela signi ?e que les polynômes non nuls sont de degrés di ?érents deux à deux Si on considère une combinaison linéaire le coe ?cient du polynôme de plus haut degré est nécessairement nul Et donc tous les coe ?cients sont nuls la famille est libre Famille génératrice Dé ?nition F est génératrice ?? tout vecteur de E est combinaison linéaire de vecteurs de F C ? est à dire ??u ?? E ?? J ? I J ?nie ?? j j ??J tel que u j uj j ??J Exemple Dans X Xn n ?? est aussi une famille génératrice Cours de Spé T S I ? Christophe Caignaert ?? Lycée Colbert ?? ? ? ?? ? ? Tourcoing ?? http c caignaert free fr C ? - ?? Compléments d ? algèbre linéaire Base Dé ?nition F est une base ?? F est génératrice et libre Exemple Dans X Xn n ?? est donc aussi une base de X C ? est la base canonique de X Théorème Plus généralement dans X une famille étagée complète c ? est à dire Pk k ?? de degré k est aussi une base de X Propriétés ? Ceci étend bien les dé ?nitions en dimension ?nie ? Toute sous-famille d ? une famille libre est libre ? Toute sur-famille d ? une famille génératrice est génératrice ? E ? F linéaire ui i ??I génératrice de E ?? ui i ??I est génératrice de Im E Théorème ui i ??I libre u ui i ??I liée F FC F F F FDF F F F F FEF F ?? u est combinaison linéaire des ui i ??I Démonstration Une liaison contenant des coe ?cients non nuls contient nécessairement u avec un coe ?cient non nul On écrit ? u ?i ui i ??I Si ? alors ?i ui mais comme cette famille est libre chaque ?i est nul ce qui est