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Cnc mp 2016 maths 2 epreuve

Ministère de l ? Enseignement Supérieur de la Recherche Scienti ?que de la Formation des Cadres Présidence du Concours National Commun École Nationale Supérieure des Mines de Rabat CONCOURS NATIONAL COMMUN d ? admission aux Établissements de Formation d ? Ingénieurs et Établissements Assimilés Session ÉPREUVE DES MATHÉMATIQUES II Filière MP Durée heures cette épreuve comporte pages au format A en plus de cette page de garde L ? usage de la calculatrice est interdit Page de garde CConcours National Commun ?? Session ?? Filière MP L ? énoncé de cette épreuve particulière aux candidats de la ?lière MP comporte pages L ? usage de tout matériel électronique y compris la calculatrice est interdit Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation la clarté et la précision des raisonnements constitueront des éléments importants pour l ? appréciation des copies Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées Si au cours de l ? épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d ? énoncé il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu ? il est amené à prendre Le sujet de cette épreuve est composé d ? un problème Durée heures Problème Soit n un entier naturel supérieur ou égal à on désigne par E Mn R l ? espace vectoriel des matrices carrées d ? ordre n à coef ?cients réels et on note par E ? L E R le R-espace vectoriel des formes linéaires sur E une forme linéaire sur E est une application linéaire de E sur R On rappelle qu ? un hyperplan de E est un sous-espace vectoriel supplémentaire à une droite vectorielle dans E La matrice transposée de M est notée tM Si M ?? E on note Vect M le sous-espace vectoriel de E engendré par M On désigne par In la matrice unité de Mn R et pour tout s ?? N on note n s On dé ?nit l ? application trace notée Tr de E vers R comme suit pour tout M mi j ? i j ? n ?? E n Tr M mk k k L ? objet du problème est de montrer dans la partie V que tout hyperplan vectoriel de E contient au moins une matrice inversible et dans la partie VI que tout hyperplan vectoriel de E qui est muni d ? un produit scalaire contient au moins une matrice orthogonale Partie I Étude de quelques propriétés de l ? application trace a Montrer que Tr est une forme linéaire b Montrer que pour tous éléments A et B de E Tr AB Tr BA Tr tA tB c Déterminer la dimension de ker Tr d Montrer que E ker Tr ? Vect In e Véri ?er que ker Tr est un hyperplan de E qui contient au moins une matrice inversible Soit l ? application qui à toute matrice M