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Controle statistique 2020 corrige

A El Mossadeq Corrigé Contrôle STATISTIQUE Toute réponse incomplète ou non justi ? ée ou non motivée ou inachevée est sanctionnée Solution xe x f x x ailleurs Considérons un r-échantillon de cette structure Sa fonction de vraisemblance est dé ? nie pour tout et tout x xr Rr tous strictement positifs par Yr L x xr f xi i r Pr i x i x xre On a ln L x xr r ln r ln ln x xr Pr xi i ln L x xr r Pr x i i d ? o? ln L x xr r Xr x i i et comme ln L x xr donc l ? estimateur du maximum de vraisemblance d ? un r-échantillon de cette CA El Mossadeq structure est r Xr Xi i points Pour tout et tout x xr Rr tous strictement positifs on a L x xr r x xre Pr xi i rx xr re r x xr D ? après le théorème de factorisation est un résumé exhaustif puisque L x xr g x xr h x xr o? g x xr re r x xr h x xr rx xr points a Puisque alors r Xr Xi i hi E E X Calculons E X E X Z Z x f x dx e x dx d ? o? hi E On en déduit que est un estimateur sans biais de points CA El Mossadeq b Puisque r Xr Xi i alors V hi V X r Calculons E X E X Z Z x f x dx e x dx d ? o? V hi h E X r i E X r On en déduit que est un estimateur convergent de points a Calculons la quantité d ? information de F isher I X concernant X I X E ln f X E ln ln X ln X E Donc la quantité d ? information de F isher I X Xr concernant fournie par le r-échantillon est r I X Xr rI X points b On a hi e h i I X Xr V Donc est e cace points CA El Mossadeq Solution Testons au seuil l ? hypothèse nulle H ? la durée de vie du Composant Electronique est une variable exponentielle ? point Soit X la variable aléatoire associée sa densité de probabilité est donné par f x e x et sa fonction de répartion est F x e x Calculons une estimation ponctuelle du paramètre Xn n Xi i est un estimateur sans biais et convergent de Une estimation ponctuelle de est donnée par On sait que X aknk k o? ak est le milieu de l ? intervalle xk xk points L ? e ectif théorique tk k représentant la durée de vie xk xk est donné par tk nP xk X xk n F xk h F xk n e xk e i xk D ? o? les répartitions Durée de vie E ectifs Observés E ectifs