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Cours aut as m1 snl Méthode du Plan de Phase Introduction La méthode du plan de phase est une méthode graphique qui permet d ? étudier de façon qualitative le comportement des systèmes dynamiques de deuxième ordre décrits par les équations suivantes F F F

Méthode du Plan de Phase Introduction La méthode du plan de phase est une méthode graphique qui permet d ? étudier de façon qualitative le comportement des systèmes dynamiques de deuxième ordre décrits par les équations suivantes F F F F x ? f x x f x F F F F F F x ? f x x f x o? x et x sont les états du système f x et f x sont des fonctions non linéaires quelconques La méthode du plan de phase a pour but d ? analyser le comportement de ce système sans résoudre l ? équation di ?érentielle le régissant Plan de phase Le plan de phase c ? est le plan qui a x et x comme coordonnées x selon l ? axe horizontal x selon l ? axe vertical Trajectoire de phase Soit x t x t x t la solution du système d ? ordre pour des conditions initiales x x x Quand t varie de à l ? in ?ni la solution x t peut être représentée par une courbe dans le plan de phase Cette courbe est appelée une trajectoire de phase ou une orbite Portrait de phase Le portrait de phase est obtenu en considérant l ? ensemble des trajectoires de phase Exemple Considérons le système linéaire x ? x et x ? ??x Pour une condition initiale x x x la solution est donnée par F F F F x t F F F F F F x t x cos t x sin t ??x sin t x cos t Ce qui conduit à une équation de la trajectoire dans le plan de phase x x x x qui est l ? équation d ? un cercle de centre et de rayon x x Figure Trajectoires dans le plan de phase Points singuliers Les points singuliers sont les points d ? équilibre dans le plan de phase On obtient les points d ? équilibre par la résolution des équations algébriques suivantes F F F F F F x ? x ? ?? F F F F F F F F F F f x x f x x Les points d ? équilibre d ? un système du second ordre sont appelés points singuliers car la pente d x d x f x x f x x n ? est pas dé ?nie en ces points Exemple Soit le système régi par l ? équation di ?érentielle ? x ? x ? x x et qui peut être écrite sous la forme d ? état F F x ? x F F F F x ? ?? x ?? x ?? x Les points d ? équilibres sont obtenus par la résolution des équations F E Salim Labiod ?? Université de Jijel CF F F F F F x ?? x ?? x ?? x ?? F F F F F F x x soit deux F F F F x points d ? équilibre