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Devoir de maison 4m4 Lycée Pilote de Tunis ème Année Math - DEVOIR DE SYNTHÈSE N EXERCICE N points Répondre par vrai ou faux en justi ?ant votre réponse Soient a et b deux entiers naturels non nuls Si p est un nombre premier alors a b p ? ap bp mod p MARS

Lycée Pilote de Tunis ème Année Math - DEVOIR DE SYNTHÈSE N EXERCICE N points Répondre par vrai ou faux en justi ?ant votre réponse Soient a et b deux entiers naturels non nuls Si p est un nombre premier alors a b p ? ap bp mod p MARS Durée heures lim ln x ? x ? x x ? ?? ?? Le plan P est rapporté à un repère orthonormé direct o u v On considère la fonction f qui à tout M d ? a ?xe z associe M ? d ? a ?xe z ? dé ?ni par z' - iz i f est une similitude indirecte de centre W d ? a ?xe i et d ? axe ? d ? équation y - x EXERCICEN points On considère la fonction f dé ?nie par f x x ln x Et on désigne par Cf la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère rr orthonormé o i j Dresser le tableau de variation de f a Résoudre dans R l ? équation f x x b Etudier les positions relatives de Cf et la droite D y x a Montrer que f admet une fonction réciproque f- b Tracer Cf et Cf- On précisera la tangente à Cf au point d ? abscisse a Véri ?er que pour tout réel x on a x ? x ? x ?? x ? x ?? b En déduire la valeur de e ?? x ? x dx c Calculer l ? aire de la partie du plan limitée par les droites d ? équations x x ? e ?? et les courbes Cf et Cf- e ?? ?? f ?? x dx b En déduire la valeur de e ?? t ?? On pose In ? f t en ? dt ou n un entier naturel a Montrer que pour tout entier naturel n In ? b Prouver que In est décroissante et en déduire qu ? elle est convergente Ct F F F EE c Montrer que pour tout réel t de e ?? F FBF F f t ? f t e n ? ? f t en ? lim n ? In ? d Montrer que EXRCICE N points a Déterminer deux entiers relatifs x et y tels que x y b En déduire un couple u v solution particulière de l ? équation E u v c Donner la solution générale de E Soit l ? équation E ? d ? inconnue rationnelle x x ux vx- o? u et v sont des entiers relatifs On suppose que est solution de E ? a Prouver que les entiers relatifs u et v sont liés par la relation u v b Déterminer parmi les couples u v précédents celui pour lequel le nombre u est l ? entier naturel le plus petit possible p Soit q une solution rationnelle de l ? équation E ? a Montrer que si p