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Devoiramimath7c5 2014 ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES ? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? Niveau C DEVOIR DE MATHS Durée h Proposé le Mai de h à h Exercice points Dans le plan a ?ne rapporté à un repère orthonormé O u v on considère l

ASSOCIATION DES AMIS DE MATHEMATIQUES ? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? Niveau C DEVOIR DE MATHS Durée h Proposé le Mai de h à h Exercice points Dans le plan a ?ne rapporté à un repère orthonormé O u v on considère l ? ensemble Em des points M x y tels que m ?? x my m ?? x m o? m est un paramètre réel Déterminer Em dans les cas suivants m m Quelle est la valeur de m pour laquelle Em est un cercle On suppose que m ?? m ?? et soit O' ?? On note X Y les coordonnées de M dans le repère O' u v a Montrer que l ? équation de Em dans ce repère est m ?? X mY b Discuter suivant les valeurs de m la nature de la courbe Em F EBF F c Déterminer les éléments géométriques de F ECF ECF ED E F F F F F F et E ?? puis les construire Exercice points Soit OABC un tétraèdre trirectangle les triangles OAB OBC et OCA sont rectangles en O On note H le projeté orthogonal de O sur le plan ABC a Montrer que les paires d ? arêtes opposées sont perpendiculaires Exemple OC ? AB b Montrer que H est l ? orthocentre du triangle ABC L ? espace est maintenant muni d ? un repère orthonormé O i j k Soient A B et C a Déterminer une équation cartésienne du plan ABC b Donner une représentation paramétrique de la droite D passant par O et orthogonale à ABC c Montrer que le plan ABC et la droite D se coupent en le point H F EB F ECF ED F F F F F F a Trouver des coe ?cients entiers a b et c tels que H bar A a B b C c b Véri ?er que O appartient aux ensembles suivants puis les déterminer M ?? S ?? MA MB MC M ?? P ?? MA MB MC i MH ?? MO a Calculer la distance du point O au plan ABC b Calculer le volume du tétraèdre OABC En déduire l ? aire du triangle ABC c Véri ?er que le carré de l ? aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des autres faces de ce tétraèdre Exercice points Dans le plan orienté on considère un carré direct ABCD de centre O On pose I B ? C A ' SB A D' SC D J C ? A ' K C ? D Le symbole désigne le milieu a Faire une ?gure illustrant les données qu ? on complétera au fur et à mesure On prendra AB horizontale b Montrer qu ? il existe une seule rotation r telle que r D B et r A A' Caractériser r c Trouver les axes ? ? '