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nombres complexes pdf c Christophe Bertault - MPSI Nombres complexes Le corps C des nombres complexes Construction à partir du corps R des nombres réels Dé ?nition Loi de composition interne Soit E un ensemble On appelle loi de composition interne sur E o

c Christophe Bertault - MPSI Nombres complexes Le corps C des nombres complexes Construction à partir du corps R des nombres réels Dé ?nition Loi de composition interne Soit E un ensemble On appelle loi de composition interne sur E ou plus simplement loi interne sur E toute application de E ? E dans E Explication Une loi interne est ce que vous avez appelé une opération ? dans les classes antérieures l ? addition des réels la multiplication des réels l ? addition des vecteurs Par exemple l ? addition des vecteurs est une loi interne car c ? est une façon d ? associer à tout couple u v de vecteurs un autre vecteur que l ? on note u v Nous supposons dans ce qui suit que nous connaissons parfaitement l ? ensemble R des nombres réels muni de ses deux lois et ? d ? addition et de multiplication Partant de là nous allons construire le corps C des nombres complexes ? Au commencement est R Dans tout ce chapitre R est identi ?é au plan F BE euclidien qu ? on a muni d ? un repère orthonormal direct O tout vecteur F BE du plan est par là même identi ?é à ses coordonnées dans le repère O On dé ?nit alors sur R deux lois de composition internes notées provisoirement ? et ? en posant ?? x y x y ?? R x y ? x y x x y y x y ? x y xx ?? yy xy yx En tant qu ? il est muni de ces deux lois R est noté C et ses éléments sont appelés nombres complexes ? Nous décidons à présent d ? identi ?er pour tout x ?? R le réel x et le nombre complexe x cela signi ?e que nous noterons désormais x à la place de x Via cette identi ?cation R peut-être vu comme une partie de C Pour tous x x ?? R cette identi ?cation permet d ? écrire x ? x x ? x x x x x x ? x x ? x xx x ? x On voit donc que sur les réels ? se comporte comme l ? addition usuelle et que ? se comporte comme la multiplication usuelle ? Les lois ? et ? sont donc des prolongements à C des lois usuelles et ? qui n ? étaient pour le moment dé ?nies que sur R Ce résultat nous invite à laisser de côté les notations ? et ? désormais ? et ? seront notées respectivement et ? et appelées addition et multiplication Le symbole ? sera généralement omis Dé ?nition Parties réelle et imaginaire d ? un nombre complexe Im z ? Soit z x y ?? C Le réel x est appelé la partie réelle de z et noté Re z de même le réel y est appelé la partie imaginaire de z et noté Im z ? Pour tous z