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ECRICOME S Éléments de correction ECS ?? Lycée La Bruyère Versailles version du dimanche avril Premier exercice Pour n ?? N ? In est l ? intégrale de la fonction t ?? ? cos t n continue sur le segment ? Il vient I ? dt ? ? I cos t dt et par linéarisation I ? cos t dt ? cos t dt ? a Pour n ?? N et t ?? ? on a cos t si bien que cosn t cosn t puis par croissance de l ? intégrale In In Ainsi la suite In est décroissante et minorée par et par suite convergente b Par intégration par parties il vient pour n ?? N en dérivant t ?? ? cosn t et en primitivant t ?? ? cos t ? In cosn t cos t dt cosn t sin t ? n ? sin t cosn t dt ? n ?? cos t cosn t dt n In ?? In Il en ressort que ??n ?? N In n n In c Les formules proposées peuvent être justi ?ées par récurrence à partir de Elles sont correctes pour n d ? après et si elles sont acquises pour un entier n donné alors I n n n I n n n n n n nn ? n ? n n et I n n n I n n n ? ? ? ? n n nn n n n n ce qui constitue le résultat au rang n d Le script ci-dessous s ? appuie sur la relation de récurrence établie en b Listing calcul des premiers termes de la suite In function y I n u zeros n u pi u for k n u k k- k u k- u k k k u k- end r y u f endfunction ld Remarque Le sujet ne semble pas prendre en compte le fait que Scilab n ? autorise pas la numérotation bl des éléments d ? un vecteur à partir de et il aurait donc fallu gérer un décalage dans la numérotar tion www a On a cos x ?? ?? ?? x x ? et ln u ?? u u ? ? CECS ?? Lycée La Bruyère Versailles ECRICOME S ?? b Puisque cos n ? il vient on peut composer à l ? intérieur mais pas à l ? extérieur n ln cos n ??n cos n ?? ?? n ?? n ?? ?? n ? ?? ? n ? ? Par suite c On obtient de même puis cos n n exp n ln cos n ? n ? ? n ln cos n ?? ?? n ? n ? ? cos n n ?? ?? ?? ? n ? ? On note n n ?? ? pour tout n ?? N ? a En utilisant l ? encadrement cos t pour t ?? ? il vient directement n ??n ?? N ? cosn t dt n b Par décroissance et