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Acb 5 Remarque ?? Une fois n ? est pas coutume nous allons en donner la démonstration pour la bonne raison qu ? elle utilise et illustre un mode raisonnement fréquent en mathématique le raisonnement par l ? absurde N ? hésitez surtout pas à l ? utiliser d

Remarque ?? Une fois n ? est pas coutume nous allons en donner la démonstration pour la bonne raison qu ? elle utilise et illustre un mode raisonnement fréquent en mathématique le raisonnement par l ? absurde N ? hésitez surtout pas à l ? utiliser dans les exercices Démonstration ?? Il y a exactement deux possibilités soit ?? est rationnel soit ?? est irrationnel Supposons par l ? absurde que ?? soit rationnel Comme nous allons trouver une contradiction à ce choix plus loin cela montrera que ceci est impossible et donc que ?? est irrationnel Dans ce cas ?? s ? écrit sous la forme ?? a b avec a ?? Z et b ?? Z ?? Si a et b sont tous les deux pairs alors on les divise par le plus grande puissance de pour que l ? un des deux restes au moins deviennent impair Ceci montre que l ? on peut supposer que l ? on peut écrire ?? a b tel que a et b ne soient pas tous les deux pairs En élevant l ? égalité ?? b a au carré on trouve b a Ceci impose que divise a et donc a Écrivons a avec ?? Z Dans l ? égalité précédent cela donne b En simpli ?ant par on obtient b Donc divise b et aussi b Nous venons donc de montrer que a et b sont pairs ce qui est contradictoire avec l ? hypothèse de départ La racine carrée de est donc un nombre irrationnel Il y a en fait deux solutions ?? et ?? ?? CHAPITRE ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE Instant culture ?? Ce résultat a beaucoup étonnée et émerveillé les grecs ils avaient là un nombre d ? un type nouveau inconnu auparavant car ils ne connaissaient que les nombres rationnels Dé ?nition des nombres complexes ?? Gr? ce aux nombres réels nous avons réussi Cà dé ?nir les racines carrées de nombres positifs Qu ? en est-il des nombres négatifs par exemple que vaut la racine carrée de ?? ?? ?? ?? Dit autrement quelles sont les solutions de l ? équation x ?? Aucun nombre réel ne convient Alors on crée un nombre que l ? on note i pour ??imaginaire ? dont le carré vaut ?? i ?? Dé ?nition Nombres complexes ?? Les nombres complexes sont les nombres de la forme z x iy avec x et y réels L ? ensemble des nombres complexes est noté C z x iy x y ?? R Pour un nombre complexe z x iy on note Re z x la partie réelle de z et Im z y la partie imaginaire de z L ? ensemble des nombres complexes z x i ? de partie imaginaire nulle s ? identi ?e avec l ? ensemble des nombres réels R z x i ? x ?? R Les nombres complexes z iy de partie réelle nulle sont appelés nombres imaginaires purs leur ensemble est noté iR z