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Analyse chapitre 3 theoreme de baire et de banach lucie le briquer 23 novembre 2017

Analyse Chapitre Théorème de Baire et de Banach Lucie Le Briquer novembre Dé ?nition espace de Baire Un espace topologique est un espace de Baire si toute intersection dénombrable d ? ouverts denses est dense Théorème Tout espace métrique complet est de Baire Preuve Soit E d un espace métrique complet et Un n ??N une suite d ? ouverts denses Posons U Un n ??N U E signi ?e que U rencontre tout ouvert ??V ouvert U ?? V ? ? U est dense donc U ?? V ? ainsi ??x ?? U ?? V U ouvert et V ouvert donc U ?? V ouvert Ainsi ??r tel que B x r ? U ?? V et donc ?? ? tel que B x ? ? U ?? V ? U dense ainsi U ?? B x ? ? ?? ?? ? ??x ?? U ?? B x ? tel que B x ? ? U ?? B x ? - Par récurrence on dé ?nit xn n ??N et ?n n ??N tel que B xn ?n ? B xn ?n ?? Un On peut de plus supposer que ?n ??n Ainsi la suite xn n ??N est de Cauchy puis que pour p n on a xn xp ?? B xn ?n Elle converge donc vers x ??N ??n N xn ?? B xN ?N donc x ?? B xN ?N Valable ??N ?? x ?? UN ??N et donc ?nalement x ?? U ?? V Corollaire Une réunion dénombrable de fermés d ? intérieur vide est d ? intérieur vide CPreuve Si F p Fp alors F C p FpC est dense Remarque Cette forme est plus facile à utiliser Propriété Un espace de Banach qui n ? est pas de dimension ?nie n ? admet pas de base dénombrable Preuve Soit E un espace de Banach Par l ? absurde supposons que e en est une base On pose Fp Vect e ep Alors E p ??N Fp Si tous les Fp étaient d ? intérieur vide par le corollaire on aurait E d ? intérieur vide ce qui est absurde Donc ??p tel que Fp ? ??a ??r tel que B a r ? Fp ? Fp Alors B r ? Fp par linéarité Alors ?B r ? Fp ?? ? On obtient ?nalement E ? Fp Donc E Fp ainsi E est de dimension ?nie Théorème de Banach-Steinhauss Soit E un espace de Banach et F un espace vectoriel normé Soit T ??A une famille d ? applications linéaires continues T ?? L E F simplement bornées i e ??x ?? E sup T x F ? ??A Alors sup T L E F ? ??A Rappel T L E F sup x Tx F xE L E F est de Banach si F est de Banach Preuve Soit p ?? N et Fp x ?? E ?? ?? A T x F p Fp est fermé car Fp ?? p ??A continue