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Nombre pi Nombre Pi Le nombre ? Qu'est-ce que le nombre ?? ? ?? Le nombre ?? ? ?? et son histoire Des décimales de ? Fraction continue Valeurs approchées de ? Quelques belles formules Des poèmes pour retenir Pi Des programmes de calcul de ?? ? ?? en javas

Nombre Pi Le nombre ? Qu'est-ce que le nombre ?? ? ?? Le nombre ?? ? ?? et son histoire Des décimales de ? Fraction continue Valeurs approchées de ? Quelques belles formules Des poèmes pour retenir Pi Des programmes de calcul de ?? ? ?? en javascript D'autres petites choses marrantes Calculer ?? ? ?? avec des élèves Quelques liens Qu'est-ce que le nombre ? ? comme on dit Mais qu'est-ce que ce nombre ? pi au juste Pour le commun des mortels Tout le monde en ?n en principe conna? t la formule qui donne le périmètre d'un cercle à partir de son diamètre ou de son rayon et du nombre ? qui vaut quelque chose comme soit et soit que l'on écrit D'o? la dé ?nition classique de pi qui est ? pi est le rapport constant entre la longueur d'un cercle le périmètre du cercle et son diamètre le double de son rayon ou encore COu bien encore à partir de la formule permettant de calculer l'aire la surface d'un disque le disque est la surface comprise à l'intérieur du cercle à partir de son rayon soit on obtient la dé ?nition suivante de pi qui est équivalente à la précédente ? pi est le rapport constant entre l'aire d'un disque et le carré de son rayon Pour le mathématicien La dé ?nition n'est pas la même La dé ?nition donnée précédemment à l'aide du périmètre du cercle ou de l'aire du disque est ennuyeuse pour le mathématicien car elle suppose que l'espace dans lequel on se place soit euclidien pour que le rapport périmètre du cercle diamètre soit constant et indépendant du cercle choisi ce qui n'est pas vrai lorsqu'on trace des cercles sur une sphère par exemple et également qu'une théorie de l'intégration soit développée sur cet espace pour pouvoir calculer le périmètre du cercle ou l'aire du disque Aussi les mathématiciens préfèrent-ils une dé ?nition basée sur l'analyse Evidemment elle est équivalente à la dé ?nition précédente On obtient toujours le même nombre pi Voici la dé ?nition que l'on peut trouver dans un livre d'analyse Analyse J -M Arnaudiès et H Fraysse Editions Dunod page On appelle pi et on note ? le double de l'unique racine de l'équation cos x comprise entre et La fonction cos ayant été dé ?nie à la page par Ce qui est équivalent à ? pi est le plus petit nombre réel ?? tel que cos ?? - Ou bien encore ? pi est la moitié de la période fondamentale de la fonction cosinus c'est-à-dire ? est le plus petit nombre réel ?? tel que cos étant la fonction cosinus dé ?nie à partir de la fonction exponentielle elle- même dé ?nie comme la somme d'une série entière sur l'ensemble des nombres complexes Pour tout nombre complexe z et soit Démonstration Pour de plus amples détails et des démonstrations sur cette dé ?nition dé ?nition par série entière convergence dérivabilité périodicité etc des fonctions réelles et