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Manuel de cours phy106 outils mathematique

Annexe A Outils math ?ematiques pour la m ?ecanique du point A Calcul di ? ?erentiel A Deriv ?ee D ?eriv ?ee d ? une fonction f a une seule variable x Soit une fonction f de la variable x d ?e ?nie et continue sur un intervalle I a b Soit x un ?el ?ement de I On dit que la fonction f est d ?erivable au point x si lim ? x ? f x ? x ? x ?? f x existe Cette limite s ? appelle d ?eriv ?ee de la fonction f par rapport a la variable x qu ? on note f ?? x df dx Si la fonction f ?? x est d ?erivable on peut calculer sa d ?eriv ?ee seconde f ?? ?? x D ? une fa con g ?en ?erale la d ?eriv ?ee d ? ordre n de la fonction f s ? ?ecrit f n dnf dxn D ?eriv ?ee partielle Consid ?erons une fonction f a deux variables x y not ?ee f x y On d ?e ?nit par exemple la d ?eriv ?ee partielle de la fonction f par rapport a la variable x not ?ee ? f x y ? x de la fa con suivante df x y dx y cte ? f ? x De m eme la d ?eriv ?ee partielle de f par rapport a y est df x y dx x cte ? f ? y M ?ecanique du Point Mat ?eriel - PHY - CA Calcul di ? ?erentiel les d ?eriv ?ees seconde par rapport a x ou y s ? ?ecrivent ? ? ? f ? x ? x ? f ? x ? ? ? f ? x ? y ? f ? x ? y ? ? ? f ? y ? x ? f ? y ? x ? ? ? f ? y ? y ? f ? y Exemple Consid ?erons la fonction g IR x y ? ? IR x sin y les deux d ?eriv ?ees partielles du premier ordre valent ? g ? x x sin y ? g ? y x cos y Les quatre d ?eriv ?ees du second ordre valent ? g ? x sin y ? g ? y ??x sin y ? g ? y ? x x cos y ? g ? x ? y x cos y On remarque que les ??d ?eriv ?ees crois ?ees ? sont ?egales Cette propri ?et ?e constitue le th ?eor eme de Schwartz Th ?eor eme de Schwartz Si la fonction f est de classe C c ? est-a -dire qu ? elle est deux fois d ?erivables avec des d ?eriv ?ees partielles continues on a ? f ? x ? y ? f ? y ? x A Di ? ?erentielle Formule de Taylor Soit f une fonction d ?e ?nie et n fois d ?erivable sur un intervalle I contenant