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Math INSTITUT SUPERIEUR DE TECHNOLOGIE Concours d ? entrée nd CYCLE ?? Mai EPREUVE DE MATHEMATIQUES Nombre de pages Durée heures SUJET A RENDRE A LA FIN de l'EPREUVE Calculatrices et documents calculatrices autorisées COMMENCEZ par inscrire vos noms et pr

INSTITUT SUPERIEUR DE TECHNOLOGIE Concours d ? entrée nd CYCLE ?? Mai EPREUVE DE MATHEMATIQUES Nombre de pages Durée heures SUJET A RENDRE A LA FIN de l'EPREUVE Calculatrices et documents calculatrices autorisées COMMENCEZ par inscrire vos noms et prénoms le centre de passage de l ? examen et le numéro de votre place sur chaque copie que vous rendrez Les surveillants ont pour consigne d ? exclure du concours tout candidat qui tente de vouloir copier sur un de ses voisins d ? accéder à des documents quels qu ? ils soient ou d ? écrire avant le signal de départ ou après le signal de ?n de l ? épreuve EXERCICE I Points I F ECF EB F EC Soit la matrice A ?? F F F F F F canoniquement associée à un endomorphisme de R F EDF EC F F F F ?? B e e e est la base canonique de R i Déterminer le polynôme caractéristique de A ii Déterminer les valeurs propres de A que l ? on notera ? ? et ? dans l ? ordre croissant iii Montrer que v - e e e v - e e et v e e sont des vecteurs propres associés à A iv Justi ?er que B v v v est une base de R Soit D la matrice diagonale semblable à A dans la nouvelle base B et P la matrice de passage de l ? ancienne base B à la nouvelle base B Donner l ? expression des matrices P et D II Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle suivante p p p ?? p ?? Page CCONCOURS IST ND CYCLE EPREUVE DE MATHEMATIQUES MAI Soit l ? équation ED x ? ? t - x ? t x t e-t avec x et x ? o? x est une fonction du temps x ? ? et x ? sont les dérivées de x On note X p la transformée de Laplace de x t i Soit a un nombre réel Ecrire la transformée de Laplace de eat ii Exprimer en fonction de X p et de p les transformées de Laplace de x ? t et de x ? ? t iii Ecrire ED à l ? aide de p et de X p iv En déduire l ? expression de X p en fonction de p v En déduire x t la solution de ED EXERCICE II Points I Soit la fonction f dé ?nie sur ? par f t t e-t x On note F x ? f t dt Véri ?er que F x - x e-x puis calculer Lim F x x ? ? La durée de vie d ? un automate programmable Industriel en abrégé A P I est une variable aléatoire notée T dont la densité de probabilité f est dé ?nie sur l ? intervalle ? par f t t e-t l ? unité de temps étant l ? année x P T