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Controle continu final automne 2012 math i analyse correction

Contrôle continu ?nal Analyse I Janvier -Durée h La qualité de la rédaction et la présentation seront notées sur points très bon bon moyen mauvais très mauvais Exercice point Question de cours Rappelez ce qu ? est une suite de Cauchy et le lien entre suite convergentes et suites de Cauchy Correction exercice Il s ? agit d ? une suite qui véri ?e Une suite réelle est de Cauchy si et seulement si elle converge Exercice points Les parties et sont indépendantes On se donne une suite réelle et on construit la suite ? On désire étudier la convergence de la suite dans certain cas Soit un réel ?xé On pose a Montrez que Pour Que vaut pour b En distinguant les cas quelle sa limite le cas échéant On pose maintenant pour tout et et dire si la suite converge Et a Montrer que pour tout b En déduite que la suite ne converge pas On pose maintenant pour tout et a Montrer que la suite est croissante b Montrer par récurrence que pour tout c En déduire que la suite converge On revient au cas d ? une suite générale Montrez que si la suite alors la suite tend vers Aide regardez converge vers une limite ?nie Correction exercice a Si Par récurrence pour Montrons que l ? égalité au rang entraine celle au rang Ce qui achève la récurrence donc pour tout CSi b Si alors Si alors Si alors Si alors Si alors a Pour tout ? donc et donc n ? a pas de limite et n ? a pas de limite n ? ont plus n ? a pas de limite et n ? a pas de limite n ? ont plus donc b Soit cela contredit le critère de Cauchy en prenant et Soit on suppose que alors et en passant à la limite dans On trouve Ce qui est faux Par conséquent la suite a n ? admet pas de limite Par conséquent la suite est strictement croissante b Pour Donc l ? inégalité est vraie pour Montrons que l ? inégalité au rang entraine celle au rang Calculons Donc Par conséquent Ce qui achève la récurrence et pour tout c D ? après b CLa suite est croissante d ? après a et majorée d ? après b elle converge entraine que puis en passant à la limite dans On obtient ce qui entraine que la suite converge vers Exercice points Les parties et sont indépendantes On se propose d ? étudier la fonction Dé ?nie sur a Etudiez la continuité de sur b Quelle est la limite de en et Etudier la dérivabilité de sur Montrez que la dérivée de en tout point de est a Montrez que la fonction admet un maximum local et un minimum local que l ? on précisera en deux points et respectivement que l ? on précisera b Montrez que est une bijection de sur Décrire la solution sur l ? intervalle de