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Corrige devoir surveille 2 pdf

Corrig ?e Q a Soit n ?? N Calculons x x x vn un sin n un cos n sin n Mais puisque ?? ?? R sin cos sin il vient que vn un sin x n vn Par cons ?equent la suite vn est g ?eom ?etrique de raison et donc vn v n sin x cos x n sin x n b Soit n ?? N un vn x sin n sin x x n sin n Remarquons que puisque x ? tous les sinus et cosinus consid ?er ?es sont non nuls x x x c Utilisons l ? ?equivalent usuel du sinus Comme n ?? ?? ?? ?? ?? ? n ? ? sin n ?? n ? ? n x Par produit- quotient d ? ?equivalents on trouve alors que un ?? n ? ? sin x x Par cons ?equent un ?? ?? ?? ?? ?? ? n ? ? sin x x Q a On calcule a cos x puis b cos x cos x Mais puisque cos x cos x ?? il vient que cos x cos x et puisque les cosinus sont strictement positifs x ? on trouve ?nalement b cos x cos x cos x cos x b Par r ?ecurrence P n an et bn P est vrai puisque a et b cos x x ? P n ?? P n D ? apr es P n an et bn Alors an an bn et bn est bien d ?e ?ni avec bn Q a Soit n ?? N D ? apr es les relations de r ?ecurrence et en utilisant les quantit ?es conjugu ?ees les termes sont bn ?? an an bn ?? an ??an bn ?? ??an ?? ??abnn ?? a n ?? ?? bba nnn ?? ??ana n bn ?? an b Par r ?ecurrence en utilisant a Page Cc Soit n ?? N Calculons en utilisant b an ?? an bn ?? an ? En utilisant les quantit ?es conjugu ?ees bn ?? bn bn an ?? bn an bn bn bn an ?? bn an bn bn Donc an et bn d On a d ?ejamontr ?e que ??n ?? N bn ?? an a la question b Montrons l ? autre in ?egalit ?e par r ?ecurrence P n bn ?? an ? n cos x ?? P b ?? a cos x ?? cos x ?? P n ?? P n En utilisant la formule bn ?? an ??b ??n an ?? an bn ?? an ? bn ?? an ? P n n cos x ?? On a utilis ?e la majoration ??an ? ?? bn ??an e Notons dn bn ?? an La suite g ?eom ?etrique n converge vers D ? apr es la question d et le th ?eor eme des gendarmes la suite dn converge vers Comme la suite an est croissante et la suite bn d ?ecroissante les deux suites an et bn sont adjacentes