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Cours limite d x27 une suite pdf

Christophe Bertault ?? Mathématiques en MPSI LIMITE D ? UNE SUITE GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES RÉELLES Dé ?nition Suite réelle On appelle suite réelle toute fonction u de dans Pour tout n ?? on préfère noter un le réel u n et un n ?? ou un n la suite u Explication ? On travaillera seulement dans ce chapitre avec des suites dé ?nies sur tout mais on pourrait bien sûr travailer avec des suites dé ?nies sur des ensembles de la forme n ? avec n ?? ? Il existe au moins deux manières courantes de représenter une suite un n ?? ?? soit comme une fonction de dans c ? est-à- dire de manière plane avec en abscisse et en ordonnée ?? soit comme un ensemble de points le long d ? un axe un n u u u u u u u u u u u u u Dé ?nition Vocabulaire usuel sur les suites réelles Soit un n ?? une suite réelle ? On dit que un n ?? est majorée si un n ?? est une partie majorée de i e si ?? M ?? ??n ?? un M Un tel M est appelé UN majorant de un n ?? On dit aussi que un n ?? est majorée par M ou que M majore un n ?? On dispose bien sûr d ? une dé ?nition analogue des suites minorées ? On dit que un n ?? est bornée si elle est à la fois majorée et minorée i e si ?? K ?? ??n ?? un K ? On dit que un n ?? est positive si elle est minorée par i e si pout tout n ?? un On dispose bien sûr d ? une dé ?nition analogue des suites négatives ? On dit que un n ?? est croissante resp strictement croissante si pour tout n ?? un un resp un un On dispose bien sûr de dé ?nitions analogues des suites décroissantes et strictement décroissantes ? On dit que un n ?? est monotone resp strictement monotone si elle est croissante ou décroissante resp strictement croissante ou strictement décroissante ATTENTION Une suite majorée ne possède JAMAIS UN SEUL MAJORANT Une suite majorée par l ? est aussi par ? Par ailleurs Les majorants d ? une suite sont par dé ?nition des constantes Une majoration de un par un réel QUI DÉPEND DE n NE montre PAS que la suite un n ?? est majorée En pratique Pour montrer qu ? une suite un n ?? est monotone deux méthodes courantes ?? étudier le signe de un ?? un ?? SI un POUR TOUT n ?? étudier la position de un par rapport à ?? méthode intéressante un surtout lorsque un est dé ?ni par des produits et des quotients et qu ? on peut espérer des simpli ?cations CChristophe Bertault ?? Mathématiques en MPSI n Exemple Pour tout n ?? on pose un n La suite un n ??