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Exam 1920 B Université Sidi Mohamed Ben Abdellah A École Normale Supérieure - Fès B Département de mathématiques A LPEM- Algèbre -S - Examen Algèbre Il sera tenu compte dans l ? appréciation des copies de la u précision des raisonnements ainsi que la clar

B Université Sidi Mohamed Ben Abdellah A École Normale Supérieure - Fès B Département de mathématiques A LPEM- Algèbre -S - Examen Algèbre Il sera tenu compte dans l ? appréciation des copies de la u précision des raisonnements ainsi que la clarté de la A rédaction LPEM Questions de cours pts Rappeler ? ? La dé ?nition d ? une forme linéaire ? ? La dé ?nition d ? hyperplan d ? un es- pace vectoriel ? ? La dé ?nition d ? une matrice E trigona- Exercice pts F EB F F a a F EC F F F EC F F F EC F F Soit a ?? R ? et A la matrice A F EC F EC F EC a F F F F F F a F EC F F ? ? ? Calculer A ?? A F EC F F F ED F F a a ? ? Montrer que A est diagonalisable ? Sans calculer ?A déterminer Sp A F EB F F F ED F F Exercice pts ?? Soit A la matrice A ?? lisable ? ? ? La dé ?nition du bloc de Jordan J ? n ? ? Le théorème de Cayley-Hamilton ? Le lemme des noyaux ? ? Véri ?er que ?A ?? X ?? X En dé- duire le spectre de A ? ? calculer A ?? I A I puis justi ?er que A est diagonalisable ? ? Déterminer les sous espaces propres de A ? ? Déterminer une matrice inversible P ?? M R et une matrice diagonale D tel que A P DP ?? ? ? Montrer qu ? il existe une matrice B ?? M R telle que B A PROBLÈME pts Dans tout le problème E est un espace vectoriel de dimension n ? et u un endomorphisme de E Le but du problème est de démontrer pour un endomorphisme u dont le polynôme caractéristique est scindé le résultat suivant L ? endomrphisme u est diagonalisable si et seulement si u est diagonalisable et ker u ker u Première partie Cas o? u est diagonalisable On suppose dans cette partie que u est diagonalisable M AQALMOUN www aqalmoun com C B Université Sidi Mohamed Ben Abdellah A École Normale Supérieure - Fès ? ? ? Montrer que u est diagonalisable ? ? Montrer que ker u ? ker u ? ? Montrer que ker u est stable par u ? ? Soit v u keru ? ? Justi ?er que v est diagonalisable ? ? Montrer que v en déduire que v ? En déduire que ker u ker u B Département de mathématiques A LPEM- Algèbre -S - Deuxième partie Cas o? u est diagonalisable Dans cette partie on considère un endomorphisme u dont le polynôme caractéristique ?u est scindé r ?u ?? n X ?? ?k mk k ? o? ? ?r sont les valeurs propres deux à deux distinctes de u ? Justi ?er pour tout ? k