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Exercice corrige 8 FACULTE DES SCIENCES APPLIQUEES QUESTIONS POSEES AUX EXAMENS D'ADMISSION Edition - Grande Traverse ?? B? timent B ?? Liège Tél - - ?? Fax - - ?? www ulg ac be facsa C CExamens de EXAMENS DE JUILLET ALGEBRE Re ?soudre l ? ine ?quation x

FACULTE DES SCIENCES APPLIQUEES QUESTIONS POSEES AUX EXAMENS D'ADMISSION Edition - Grande Traverse ?? B? timent B ?? Liège Tél - - ?? Fax - - ?? www ulg ac be facsa C CExamens de EXAMENS DE JUILLET ALGEBRE Re ?soudre l ? ine ?quation x x x ?? ? sachant que le polyno me du premier membre admet trois racines re ?elles en progression arithme ?tique a Calculer toutes les racines sixiemes du nombre complexe i et e ?valuer la somme de leurs carre ?s b Soient n et p deux entiers plus grands que Evaluer la somme des piemes puissances des racines nie mes de i Les nombres de Catalan interviennent fre ?quemment en analyse combinatoire Pour tout entier naturel n le nombre cn est de ? ?ni comme le nombre de manieres de placer des parentheses dans un produit de n facteurs par exemple c puisque le produit des quatre facteurs a b c et d admet les cinq groupements suivants a b cd a bc d ab cd a bc d et ab c d Nous admettons sans de ?monstration le re ?sultat suivant cn n C nn De ?montrer que pour tout n on a a cn Cn n ?? Cn ?? n b n cn n ?? cn ?? n ?? ? c cn cicn ??i ?? i Eugene-Charles Catalan a e ?te ? professeur a l ? universite ? de Lie ge C Examens de Suggestion Il n ? est pas ne ?cessaire de raisonner par re ?currence l ? usage direct de la de ? ?nition et du re ?sultat suf ?t Notation L ? e ?criture Cnp de ?signe le coef ?cient binomial c ? est le coef ?cient de degre ? p dans le de ?veloppement de x n C ? est aussi le nombre de sous-ensembles de taille p d ? un ensemble de n e ?le ?ments ANALYSE Soit la fonction f x x exp ??a x oua est un parametre re ?el positif ou nul En discutant en fonction de a s ? il y a lieu a de ?terminer le domaine de de ? ?nition de f b de ?terminer les e ?ventuelles asymptotes du graphe de f c de ?terminer et caracte ?riser les e ?ventuels extrema de f d e ?tudier la concavite ? du graphe de f et en situer les e ?ventuels points d ? in exion e esquisser le graphe de f A Selon la the ?orie line ?aire des vagues en eaux peu profondes les particules d ? eau situe ?es ala surface de la mer et participant a la propagation des vagues de pe ?riode T sont anime ?es d ? une vitesse dont les composantes horizontale et verticale sont de ?crites respectivement par u t U sin ?t et v t ?HU ? cos ?t out de ?signe le temps ou ? ? T est une constante caracte ?risant la pulsation des vagues et ou U H et