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Formules 20de 20taylor Cours PCSI Formules de Taylor Table des matières Introduction I- Formule de Taylor avec reste intégral - Théorème - Application aux polynômes II- Inégalité de Taylor- Lagrange III- Formule de Taylor Young CCours PCSI Formules de Tay

Cours PCSI Formules de Taylor Table des matières Introduction I- Formule de Taylor avec reste intégral - Théorème - Application aux polynômes II- Inégalité de Taylor- Lagrange III- Formule de Taylor Young CCours PCSI Formules de Taylor Introduction Les formules de Taylor permettent d'approcher des fonctions transcendantes par des polynômes Elles permettent d'approcher des irrationnels par des rationnels exemple e Taylor-Lagrange Développement en série TAYLOR Brook anglais - Savant éclectique Brook Taylor s'adonna à la musique à la peinture et à la philosophie Il fut formé aux mathématiques par John Machin et compléta ses études à l'université de Cambridge Admirateur de Newton dont il adopta les idées et perfectionna sa méthode des uxions Taylor fut membre de la Royal Society de Londres l'équivalent de notre Académie des sciences dès il n'a que ans Il en fut le secrétaire en En dehors de certains travaux en géométrie axés sur la perspective qui servira de base à la photogrammétrie on lui doit principalement la publication - de son traité sur le développement en série des fonctions Methodus incrementorum directa et inversa qui engendra injustement des disputes de paternité car il fut le premier à établir de tels développements dans le cas général et non pour une fonction particulière La célèbre formule est en fait l'aboutissement de travaux entamés auparavant par Gregory Newton Leibniz et Jacques Bernoulli Selon CDSB en dans une lettre à son ancien ma? tre John Machin Taylor écrit que sa formule est née du problème de Kepler concernant le calcul de l'anomalie excentrique d'une planète Le calcul ou la majoration du reste rn n'est pas étudié rigoureusement par Taylor Un exemple de développement de Taylor convergent mais non vers la fonction initiale fut d'ailleurs donné par Cauchy au moyen de la fonction e x C'est pourquoi suite à des travaux ultérieurs sa formule est partiellement rebaptisée formule de Taylor-Lagrange Taylor-Young Taylor-Laplace Extraits de http serge mehl free fr Formule de Taylor avec reste intégral f de classe Cn généralisation de x f x f a ? f ' t dt pour une fonction de classe C a Inégalité de Taylor-Lagrange f de classe Cn généralisation de l'inégalité des accroissements ?nis Si f est de classe C et que ?? f ' ?? est majorée par M ?? f b f a ?? ? M b a Inégalité de Taylor-Young f est de classe Cn généralisation de f de classe C f x f a f ' a x a x x a CCours PCSI Formules de Taylor CCours PCSI Formules de Taylor I- Formule de Taylor avec reste intégral - Théorème Soit f une fonction de classe Cn sur un intervalle I et a b ??I on a ? ? f n b k f k a k b b a k b t n f n t dt a n Remarque la formule peut s'écrire avec x Démonstration récurrence sur n Initialisation Au rang la formule de Taylor avec reste intégral est b f b f a ?