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P03 variables aleatoires pdf

Variables Aléatoires Variables Aléatoires A El Mossadeq CUne variable aléatoire à une dimension est un aléa X T P R BR o? BR est la tribu des boréliens de R Variables Aléatoires A El Mossadeq CAinsi ou encore B BR X B T B BR X B T Variables Aléatoires A El Mossadeq CRappelons que si X T P R BR est une variable aléatoire alors la loi PX de X dé ? nie borélien B de BR par PX B P X B PX est une probabilité sur BR Variables Aléatoires A El Mossadeq CEn particulier PX x P X x P X x Variables Aléatoires A El Mossadeq C Fonctions de Répartition Variables Aléatoires A El Mossadeq CA toute variable aléatoire X T P R BR on associe une fonction F dé ? nie pour tout x R par F x PX x P X x F est la fonction de répartition de X Variables Aléatoires A El Mossadeq CLes propriétés suivantes caractérisent les fonctions réelles F qui sont des fonctions de répartitions i F prend ses valeurs dans l ? intervalle et lim F x lim F x x x ii F est croissante iii F est continue à gauche Variables Aléatoires A El Mossadeq CDésingons par F a la limite à droite de F x au point a Alors lim F x F a x a F a PX fag En conséquence PX fag F a F a Variables Aléatoires A El Mossadeq CPour tout a b R on a P a X b F b F a P a X b F b F a P a X b F b F a P a X b F b F a P X a F a F a Variables Aléatoires A El Mossadeq C Variables Aléatoires Discrètes Une variable aléatoire X T P R BR est dite discrète si X est dénombrable La loi PX de X est alors une loi discrète Variables Aléatoires A El Mossadeq CIl en résulte que si X est une variable aléatoire dont l ? ensemble des valeurs est fx xn g X fx xn g Variables Aléatoires A El Mossadeq Calors la loi PX de X est entièrement dé ? nies pour tout i N par pi PX fxig P X xi Les pi i N sont appelées les probabilités élémentaires Variables Aléatoires A El Mossadeq CExemple On dit que X est une variable aléatoire binomiale d ? ordre n n et de paramètre p p si pour tout k k n on a pk P X k C n k pk p n k On la note B n p Variables Aléatoires A El Mossadeq CLorsque n X est appelé une variable aléatoire de Bernouilli de paramètre p notée B p Variables Aléatoires A El Mossadeq CExemple On dit que X est une variable aléatoire de Poisson de paramètre a a si pour tout k k N on a ak pk P X k e k a On