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Lc pdf Université Joseph Fourier Grenoble Maths en Ligne Limites et continuité Bernard Ycart Vous avez déjà une compréhension intuitive de ce qu ? est la limite d ? une fonction Ce chapitre n ? en est pas moins le plus important de votre cours d ? analyse

Université Joseph Fourier Grenoble Maths en Ligne Limites et continuité Bernard Ycart Vous avez déjà une compréhension intuitive de ce qu ? est la limite d ? une fonction Ce chapitre n ? en est pas moins le plus important de votre cours d ? analyse C ? est l ? occasion ou jamais de comprendre les epsilons Votre travail devrait être facilité si vous avez déjà assimilé le chapitre sur les suites mais ce n ? est pas indispensable Table des matières Cours Vocabulaire Convergence Opérations sur les limites Limites unilatérales Convergence des fonctions monotones Comparaison de fonctions Limites à conna? tre Continuité en un point Continuité sur un intervalle Entra? nement Vrai ou faux Exercices QCM Devoir Corrigé du devoir Compléments Cauchy et les limites Continuité uniforme Arguments de continuité Discontinuités des fonctions monotones Pourquoi dé ?nir la continuité novembre CMaths en Ligne Limites et continuité UJF Grenoble Cours Vocabulaire Une fonction f de R dans R est dé ?nie par son graphe c ? est un sous-ensemble ? de R ? R tel que pour tout x ?? R au plus un réel y véri ?e x y ?? ? S ? il existe ce réel y est l ? image de x et est noté f x L ? ensemble des x qui ont une image par f est le domaine de dé ?nition de f Nous le noterons Df La notation standard est la suivante f Df ?? ? R x ?? ? f x Si A est un sous-ensemble de Df l ? image de A notée f A est l ? ensemble des images des éléments de A f A f x x ?? A Si B est un sous- ensemble de R l ? image réciproque de B notée f ?? B est l ? ensemble des antécédents des éléments de B f ?? B x ?? Df f x ?? B Attention à la notation f ?? f ?? B est dé ?ni même si f n ? est pas bijective Par exemple si f est l ? application valeur absolue x ? x f ?? et f ?? ?? ?? ?? Dé ?nition Soit f une fonction de domaine de dé ?nition Df à valeurs dans R On dit que f est ? constante si ??x y ?? Df f x f y ? croissante si ??x y ?? Df x y ?? f x f y ? décroissante si ??x y ?? Df x y ?? f x f y ? strictement croissante si ??x y ?? Df x y ?? f x f y ? strictement décroissante si ??x y ?? Df x y ?? f x f y ? monotone si elle est croissante ou décroissante ? majorée si f Df est majoré ? minorée si f Df est minoré ? bornée si f Df est borné Le plus souvent ces dé ?nitions s ? appliqueront à des restrictions de f à un intervalle I inclus dans