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Livre algebre Chapitre APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS Dans ce chapitre nous allons appliquer la théorie des déterminants à la recherche de l'inverse d'une matrice carrée inversible à la détermination du rang d'une application linéaire puis à la résolution

Chapitre APPLICATIONS DES DÉTERMINANTS Dans ce chapitre nous allons appliquer la théorie des déterminants à la recherche de l'inverse d'une matrice carrée inversible à la détermination du rang d'une application linéaire puis à la résolution des systèmes d'équations linéaires Cette étude montre l'importance fondamentale des déterminants dans les applications et justi ?e amplement V intérêt qui leur est accordé Nous désignerons toujours par K un corps commutati qui dans la plupart des cas sera E ou C Calcul de l'inverse d'une matrice carrée D'après le Théorème d une matrice carrée A est inversible si et seulement si dét A Nous nous proposons de montrer comment utiliser les déterminants pour calculer la matrice inverse d'une matrice inversible Dé ?nition Soit A a j une matrice carrée d'ordre n On appelle matrice complé- mentaire de A et on note ? la transposée de la matrice des cofacteurs de A Autrement dit si ? -j on a o? Aij est la matrice déduite de A par suppression de la i ligne et de la j ' colonne Théorème Quelle que soit la matrice A e MP K on a A? ? A dét A ? Ip o? Ip désigne la matrice unité d'ordre p CAPPLICATIONS DES DÉTERMINANTS Par suite si A est inversible son inverse est donné par A Démonstration Soit A a j Posons On a bij Par dé ?nition du produit de deux matrices on a en aikbkj -l k iaikd t Ajk l l Si i j la formule montre que c ? ? est égal à dét l Si i j on voit que Cij n'est autre que le déterminant de la matrice obtenue en remplaçant dans A la j ligne par la i sans toucher aux autres Cette matrice ayant deux lignes identiques son déterminant est nul c si i j On a donc AA ûét A Ip On montrerait de môme que AA à t A Ip Si la matrice A est inversible on a dét -A Alors À ? dét A dét A 'A- ' d'o? Règle pratique Posons A l oc Alors si A est le cofacteur de a dans A la formule - dét A A montre que Ainsi on obtient l'inverse d'une matrice inversible A d'ordre p en formant la transposée ? de la matrice des cofacteurs de A puis en divisant tous les éléments de ? par dét l CCOURS D'ALGÈBRE Exemple Considérons la matrice A Si dél A ?? ad - be A est inversible On a d -b d'o? Détermination du rang Nous allons appliquer la théorie des déterminants à la recherche pratique du rang d'une application linéaire d'une matrice ou d'un système de vecteurs Le calcul du rang d'une application linéaire ou d'une famille de vecteurs peut d'ailleurs se ramener à celui du rang d'une matrice puisque le rang d'une application linéaire est celui de sa matrice dans des bases données qui est aussi celui des vecteurs colonnes Posons la dé ?nition suivante Dé ?nition Soit A une matrice