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Mathematique appliquee cours 20

Daniel BOICHU Vincent ROBIN MT Mathématiques pour l'ingénieur Mise en forme du polycopié en LATEX par Liza Lecarme et Marc Nguyen CTable des matières Préliminaires Histoire à suivre L'intégrale de Lebesgue par Lebesgue en personne C L'intégrale utile du scienti que Premier niveau de la théorie de l'intégration intégrale de Riemann C Dé nition de l'intégrale des fonctions en escalier C Dé nition de l'intégrale des fonctions bornées sur des intervalles bornés Approximation de l'intégrale par des sommes de Riemann Deuxième niveau de la théorie de l'intégration intégrale de Lebesgue C Vers la dé nition L'exemple lumineux la fonction de Dirichlet L'intégrale de Lebesgue sur R R Intégrale sur une partie mesurable de L'intégrale sur Rn L'intégrale de Lebesgue sur un espace mesuré Exemples très instructifs Ensemble négligeable Consistance entre les intégrales Troisième niveau de la théorie de l'intégration l'intégrale impropre Exemple de base Remarque de terminologie Plus généralement Deux exemples incontournables Remarque Espaces fonctionnels classiques Notations Mesure de comptage Exemples variés Exemple Exemple Exemple Exemple Exemple Théorèmes d'interversion Théorème de convergence monotone Levi Théorème de convergence dominée Lebesgue Intégrale dépendant d'un paramètre Théorème continuité de F Théorème de dérivation sous le signe somme Importance de ces théorèmes C La base des distributions Introduction heuristique Fonction comme fonctionnelle Introduction D R ou la classe des fonctions test sur R C Dé nition d'une distribution C Dé nition Dérivée d'une distribution Multiplication f T quand f est C ? Support d'une distribution Convergence d'une suite Tn de distributions Primitive d'une distribution sur R Exemples de distributions Distribution sur R ou R portée par une courbe ? orientée Distribution portée par une surface Fourier périodique Heuristique La clef Rappel jusqu'à Banach et Hilbert Espace métrique X d Espace vectoriel normé E Espace de Banach Produit scalaire sur le R ou C e v E Représentation de Fourier dans L T C On revient sur quelques dé nitions Fondamental Fourier dans L T E Une condition su sante de convergence ponctuelle de la série de Fourier Le miracle des distributions périodiques La convolution C Convolution dans les fonctions dé nies sur R Convolution dérivation et translation Convolution dans les fonctions périodiques Convolution dans les suites Convolution entre une distribution et une fonction Convolution entre distributions Produit tensoriel entre distributions C Dé nition de T ? S Propriétés L'algèbre de convolution D Théorème du support Lois de composition interne Régularisation d'une distribution Transformées de Fourier et de Laplace Analyse de Fourier Transformée de Fourier C Autres dé nitions Synthèse de Fourier L'information spectrale Convergence en valeur principale Transformée de Fourier dans Rn Les charmes de la transformée de Fourier C Echange translation - modulation Echange dérivation - multiplication monômiale Echange multiplication - convolution Changement d'échelle Fourier dans L R Espace S R des distributions tempérées Espace de Schwartz S Comment C étendre la dé nition de la transformée de Fourier Distribution tempérée F T ou T quand T ?? S Des exemples Transformée de Laplace Exemples Comportement de la transformée de Laplace Exemple travaillé