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Mecanique quantique 1 MNoétceasndiqeuceoquursanstuirqulae Université Joseph Fourier Grenoble Master Physique M version novembre Frédéric Faure http www-fourier ujf-grenoble fr faure C CTable des matières Introduction Rappels de mécanique classique I Les f

MNoétceasndiqeuceoquursanstuirqulae Université Joseph Fourier Grenoble Master Physique M version novembre Frédéric Faure http www-fourier ujf-grenoble fr faure C CTable des matières Introduction Rappels de mécanique classique I Les fondements Une particule quantique sans spin à dimension I Espace des états les fonctions d'ondes Espace vectoriel des fonctions d'ondes Exemples importants Le produit scalaire Vecteur dual espace dual B Opérateurs di érentiels x p H C Dé nitions Opérateurs linéaires Opérateurs adjoints et autoadjoints Évolution d'un état quantique L'équation d'évolution C Exemples d'évolutions d'ondes images et lms Bases et changement de bases Base orthonormée Relation de fermeture Expression d'un opérateur dans une base Changement de base Spectre d'opérateurs C Dé nition et propriétés générales x Spectre de l'opérateur base de position p Spectre de l'opérateur base d'impulsion H Spectre de l'opérateur base des états stationnaires Spectre d'opérateur et résultat d'une mesure Opération idéale de mesure d'un système quantique E Sur la di culté d'interpréter la mécanique quantique Valeurs moyenne et variance de l'observable Relation d'incertitude et relations de commutation C TABLE DES MATIÈRES Résumé du chapitre Fonction d'onde Evolution d'un état quantique ? C t x Signi cation probabiliste de la fonction d'onde ? x Conseils de Lecture Une particule quantique sans spin à dimension II Interprétation des opérateurs x p H comme générateurs H génère les translations dans le temps Groupe des translations des états quantiques en espace Groupe des translations en impulsion Générateurs en mécanique classique Représentation de Heisenberg H Le potentiel harmonique Spectre de et évolution Importance du potentiel Harmonique en physique Résolution algébrique du spectre C Application Modèle d'Einstein sur la capacité calori que des matériaux Application les modes quantiques du champ électromagnétique dans le vide B Un e et surprenant du vide quantique de photons la force de Casimir Les états cohérents et leur évolution par l'oscillateur harmonique Correspondances classique-quantique à l'aide du paquet d'onde Gaussien Comptage semi-classique du nombre d'états La loi de Weyl Applications C Règle de quanti cation semi-classique de Bohr-Smmerfeld Représentation quantique dans l'espace de phase Conseils de Lecture Une particule à dimensions sans spin Une particule à dimensions sans spin H Espace des états L'espace H comme produit tensoriel H Hx ? Hy ? Hz L'oscillateur Harmonique à dimensions Particule chargée dans un champ électromagnétique Dynamique classique et invariance de Jauge Équation de Schr? dinger et invariance de Jauge Quantique B E et Aharonov-Bohm Interprétation géométrique de l'invariance de Jauge quantique et autres théories de Jauges Remarque importante sur la nécessité d'une théorie quantique du champ électromagnétique CTABLE DES MATIÈRES Niveaux de Landau et spectre fractal de Hofstadter Conseils de Lecture Particule de spin L'espace des états de spin Rotation de ? et ? d'un spin Générateurs des rotations et matrices de rotation Représentation de l'état de spin sur la sphère de Bloch Groupe SU de rotation du spin et relations de commutation Non commutativité du groupe et relations de commutation u Rotation autour d'un axe quelconque Algèbre de Lie des rotations Groupe de Lie des rotations Représentation des opérateurs de