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Module 1 nombres complexes partie1

NOMBRES COMPLEXES INTRODUCTION AUX NOMBRES COMPLEXES Nombres complexes Il existe un ensemble C des nombres complexes qui possède les propriétés suivantes C contient R C est muni d ? une addition et d ? une multiplication qui suivent les mêmes règles de calcul que dans R C contient un nombre noté i tel que i ?? Tout nombre complexe z admet une unique écriture sous la forme z x iy avec x y ?? R ?? Cette écriture est appelée forme algébrique du nombre z ?? le réel x est la partie réelle du nombre z notée Re z ?? le réel y est la partie imaginaire du nombre z notée Im z ?? si y le nombre z est dit réel et si x le nombre z est dit imaginaire pur ?? L ? ensemble des imaginaires purs est noté iR z x iy x et y ?? R Règles de calcul Soient z a ib et z a ib deux nombres complexes a b a et b sont des réels ?? l ? opposé de z est ??z ??a ?? ib ?? La multiplication par un scalaire ? ?? R ?z ?a i ?b a ?? ib ?? L ? inverse de z a ib z est le nombre complexe z a b ?? La multiplication de z par z est le nombre complexe z ? z aa ?? bb i ab a b z ?? La division z est le nombre complexe z ? z z Proposition Pour tout z ?? C di érent de on a z z zn ?? zn ??z Nombre conjugué Dé ?nition Soit z x iy un nombre complexe on appelle nombre complexe conjugué de z le nombre complexe z x ?? iy CNOMBRES COMPLEXES INTRODUCTION AUX NOMBRES COMPLEXES Propriétés de la conjugaison Soient z z deux nombres complexes Alors z z z z z ?? z z ?? z z z z z z z z z pour tout z ??n ?? N zn z n Remarques z z Re z et z ?? z i Im z z ?? R ?? z z z ?? iR ?? z ??z Module d ? un nombre complexe Dé ?nition Soit z x iy un nombre complexe on appelle module de z le nombre réel z x y Propriétés Soient z z et z trois nombres complexes Alors zz z z z z ?? z z z z z et ??n ?? N z n z n Pour tout z z z Pour tout z z z z z z z ? z z inégalité triangulaire z ?? z ? z ?? z C