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Serires de fonction exercice corriger 1

EXERCICES SUR LA CONVERGENCE UNIFORME SUITES Calculer la norme in ?nie des fonctions f de R dans R dé ?nies ci-dessous et préciser lesquelles sont bornées a f x arctan x b f x x x c f x sin x d f x x sin x x e f x x x f f x ?? x x Etudier la convergence simple et uniforme sur R des suites fn de fonctions dé ?nies ci-dessous a fn x x nx b fn x sin nx n x c fn x x arctan nx Etudier la convergence simple et uniforme sur R de la suite de fonctions fn n ? dé ?nies par fn x n si x n si x n Soit a un nombre réel Etudier la convergence simple et uniforme sur R de la suite fn n ? de fonctions dé ?nies par fn x naxe ??nx Etudier la convergence simple et uniforme sur puis sur a avec a dans de la suite fn n ? de fonctions dé ?nies par fn x n xn ?? xn Etudier la convergence uniforme sur ? puis sur a ? avec a de la suite fn n ? de fonctions dé ?nies par fn x sin ? n x n x Etudier la convergence uniforme sur puis sur a avec a ?? de la suite fn n ? de fonctions dé ?nies par fn x sin ?xn xn Soit la suite fn n ? de fonctions dé ?nies sur ? par fn x xn x n nx n x Ca Trouver la limite simple de la suite fn sur ? A-t-on convergence uniforme sur cet intervalle b Montrer que pour tout couple X Y de nombres réels strictement positifs on a X Y X Y ? X Y c Si a déduire de l ? inégalité précédente la convergence uniforme de la suite fn sur a ? Soit la suite fn n ? de fonctions dé ?nies sur ?? par ?? fn x x n x a Etudier la convergence uniforme de cette suite F EB F F F ED F F b En déduire la limite de la suite fn t dt ?? Soit la suite fn n ? de fonctions dé ?nies sur par f Id et si n ? par fn ?? ? fn a Montrer que la suite fn converge simplement vers une fonction constante f que l ? on déterminera b Montrer que si n ? et si x ?? on a Qu ? en déduit-on fn x ?? c ? n Soit un une suite numérique convergente de limite u et vn une suite de ? de limite v Montrer que la suite fn de fonctions dé ?nies sur ? par fn x x un x vn converge uniformément sur ? Soit fn une suite de fonctions continues sur R qui converge uniformément vers la fonction f a On suppose que f est majorée Montrer que la suite efn converge uniformément sur R vers ef