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Td mth 100 UL FDS Dep de Maths - MTH TD Exercice E est un ensemble A B ? E Montrer que A ? B ?? CEB ? CEA n Les Ei sont des ensembles Prouver que Ei ? ?? ??i ?? n tel que i Ei ? E est l ? ensemble des applications de N dans On pose Ai f ??

UL FDS Dep de Maths - MTH TD Exercice E est un ensemble A B ? E Montrer que A ? B ?? CEB ? CEA n Les Ei sont des ensembles Prouver que Ei ? ?? ??i ?? n tel que i Ei ? E est l ? ensemble des applications de N dans On pose Ai f ?? E f i Montrer que les Ai forment une partition de E Exercice Donner la liste des éléments de P P Est-il vrai que P A ?? B P A ?? P B P A ?? B P A ?? P B Soit la fonction Exercice f R ? R x ? f x x x f est-elle une application En discutant suivant la valeur de y résoudre dans R l ? équation f x y f est -elle injective surjective bijective Exercice L ? application f C ? C z ? z z est-elle injective surjective bijective Donner l ? image par f du cercle trigonométrique Donner l ? image réciproque par f de iR Exercice Soient f E ? F et g F ? G deux applications On pose h g f Démontrer que Si f et g sont injectives resp surjectives alors h l ? est aussi Si h est injective alors f l ? est aussi Si h est surjective alors g l ? est aussi Si h est injective et f surjective alors g est injective Exercice Soit f X ? Y une application Montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes C f est injective ??A B ? X f A ?? B f A ?? f B ??A B ? X A ?? B ? ?? f A ?? f B ? Exercice Soit X un ensemble Si A ? X on note ?A la fonction caractéristique de A Montrer que l ? application P X ? F X A ? ?A est bijective CUL FDS Dep de Maths - TD de MTH On dé ?nit la relation binaire sur N par x x y y ?? x y ou x y et x ? y a Véri ?er que c ? est une relation d ? ordre b La partie B p p ?? N de N est-elle majorée En utilisant la formule du binôme déterminer Cnk ?? kCnk kCnk ? k ? n ? k ? n ? k ? n Soit E un ensemble à n éléments Combien de relations binaires resp relations binaires symétriques peut-on dé ?nir sur E Soit A une partie à p éléments d ? un ensemble E à n éléments Déterminer le nombre de parties de E contenant exactement k éléments de A On considère l ? ensemble E n n ?? N ? Cet ensemble est-il majoré minoré A-t-il un plus petit élément un plus grand élément une borne su- périeure une borne inférieure Soient x x xn des réels et soit a Montrer que x ?? x ? x ?? x n n