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University tahrimohamed de bechar module m414

University Tahrimohamed de bechar module M spécialité L gènnei civil group projet sur la méthode d' euler présenter par Nacer abderrzzaq Samad abdanour makhlou ? mohamed tahar CUniversity Tahri Mohamed Béchar la méthode d'euler en physique Introduction En physique nous recherchons souvent l ? évolution temporelle d ? une grandeur caractéristique du système étudié L ? étude théorique nous amène à une équation di ?érentielle souvent non linéaire lorsque le système n ? a pas été trop modélisé La résolution exacte de ce type d ? équation est rare on utilise alors une méthode numérique pour approcher la solution graphiquement L ? idée de ce document est de montrer l ? utilisation quelques méthodes numériques classiques Pour cela et a ?n d ? éviter trop de formalisme mathématique on se basera sur deux exemples classiques de la physique donnant F F Considérons le systèmes d ? équ ations di ?érentielles y ?? f t y y y y F F F F n F F F F yn ?? fn t y yn yn yn En notation vectorielle ce système s ? écrit y ?? f t y y y o? y y yn T et f R ? Rn ? Rn Théorème Cauchy-Lipschitz Si f R ? Rn ? Rn est localement Lipschitzienne i e pour tout R il existe K telle que si x y ?? Rn et t s ? sont tels que ?x ? ? R ?y ? ? R ? t ? R et ? s ? R alors ?f t x ?? f t y ? ? K ?x ?? y ? Alors pour tout y ?? Rn il existe T et y T ? Rn de classe C solution de De plus si f est de classe Ck il est clair que y est de classe Ck La méthode d ? Euler explicite Les méthodes traditionnelles permettant de résoudre de manière approchée les systèmes d ? EDO sont basée sur l ? égalité On a donc pour h petit y ?? t y t h ?? lhim ? h y t Cy t h y t hy ?? t o h Et on utilise le fait que y est solution de pour écrire y t h y t hf t y t o h Négligeant le o h on obtient la méthode d ? Euler explicite On se donne un pas h et on note yih la valeur approchée de la solution exacte y au temps ti ih La méthode d ? Euler explicite est dé ?nie par yhy h y yh hf ti yh i i i ? COn dé ?nit ensuite la solution approchée yh t à un temps t ? par yh t ?? ? yh ?yh i i avec i et ? tels que ih ? t i h et t ?? ? ih ? i h La fonction construite yh est continue et a ?ne par morceaux Ce n ? est pas le seul choix possible on aurrait