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Calcul des probabilit amp 00233 s

École Polytechnique Élèves voie Semestre d'accueil Introduction au calcul des probabilités Résumé de cours Alexandre POPIER Olivier WINTENBERGER Année - C C La théorie des probabilités concerne la modélisation du hasard et le calcul des probabilités son évaluation Ces techniques doivent faire partie des connaissances de base de tous les ingénieurs très souvent confrontés à des systèmes ou des situations de plus en plus complexes et parfois gouvernées en partie par le hasard Elles jouent par exemple un rôle essentiel dans l'évaluation de la sûreté de fonctionnement des systèmes d'information C et de communication ou en nance quantitative pricing d'options couvertures etc Le texte qui suit constitue un résumé du cours d'initiation en probabilités du semestre d'accueil pour les élèves de la voie en première année de l'École Polytechnique Il ne saurait se substituer à un exposé complet et commenté et encore moins à la pratique d'exercices d'application Il peut néanmoins servir de référence ou d'aide-mémoire en ce qui concerne les notions et outils de base de ces disciplines exposés selon le cheminement naturel d'un cours Pour les étudiants nous ajoutons qu'ils trouveront des C informations sur les cours contenu modi cations lieux horaires etc sur la page Internet suivante http owintenb free fr accueil html Pour avoir des complèments nous B C renvoyons le lecteur aux di érentes références à la n du cours et à leurs bibliographies respectives Nous remercions Alexis Bienvenüe et Paul Doukhan pour nous avoir permis de nous inspirer largement de leurs cours de probabilité et statistique Ces notes de cours sont évidemment une version préliminaire et nous serions reconnaissant à tout lecteur de nous faire part des fautes qu'il y aura détectées à l'adresse suivante owintenb univ-paris fr C CTABLE DES MATIÈRES Table des matières C Première approche dans le cas ni dénombrement Motivation et introduction Espace des observables Probabilité Le cas équiprobable Notions de dénombrement C Premières dé nitions Principes de la somme et du produit Dénombrement des p-listes Dénombrement des Arrangements et des Permutations ? ? Dénombrement des Combinaisons E Propriétés des coe cients binômiaux C Autre exemple important le schéma Succès-Échec ni Exercices Axiomes du calcul des probabilités L'espace de probabilité F P L'espace des observables La tribu des événements F La probabilité P Indépendance et probabilités conditionnelles Probabilités conditionnelles L'espace des observables est au plus dénombrable C Un exemple le schéma Succès-Échec in ni Exercices Élément aléatoire Élément aléatoire C Dé nition Loi de probabilité d'un élément aléatoire Variables indépendantes Fonction de répartition Variables aléatoires discrètes Moments Fonction génératrice C TABLE DES MATIÈRES Lois discrètes classiques Variables aléatoires à densité Probabilité absolument continue Variables aléatoires réelles absolument continues Moments Fonction caractéristique Lois absolument continues classiques Exercices Deux théorèmes limites et leurs applications Loi des grands nombres Théorème central limite Applications Application numérique méthode de Monte Carlo Application statistique modèle de Bernoulli Exercices A Tables des lois B Tables statistiques C C Chapitre Première approche dans le cas ni dénombrement Motivation et introduction La théorie des probabilités a pour objectif de