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Chapitre polynomes fonctions rationnelles

Cycle Préparatoire IFCI Double Cursus ENSA-INSA Module Outils Mathématiques Regroupement n Fonctions Polynômes et Fonctions Rationnelles C Fonctions polynômes Dé nition et propriétés On appelle fonction polynôme ou polynôme tout court par abus de langage E C à coe cients dans R resp C toute fonction dé nie sur R resp C de la forme P x anxn a x a avec ?? i ?? n ai ?? R resp ai ?? C C C Dé nition On a les dé nitions suivantes degré ? Le de P est la plus grande puissance de x qui apparait dans P x On le note d P ou deg P valuation ? La de P est la plus petite puissance de x qui apparait dans P x On la note v P ou val P ? Le terme constant de P x est a unitaire ? On dit que P est E si le coe cient du terme de plus haut degré an si d P n est égal à Exemple P x x ?? x x est un polynôme non unitaire de degré d P et de valuation v P Son terme constant est On considère les polynômes P x x ?? x P x x ?? x ?? et P x Donner le degré la valuation et le terme constant de ces polynômes et préciser si elles sont unitaires ou non CNotation E On note R x l'ensemble des polynômes à coe cients réels et C x E l'ensemble des polynômes à coe cients complexes De même on note Rn x resp Cn x le sous-ensemble de R x resp C x formé des polynômes de degré au plus égal à n polynôme nul On appelle E et on note R x le polynôme dont tous les coe cients sont nuls Par convention d R x ?? ? et v R x ? Attention P x a est de degré Opérations élémentaires Soient A et B dans R x resp C x On note E ak k ??N resp bk k ??N les coe cients de A resp de B ? La somme de A et E B est un polynôme S dont les coe cients sk k ?? N sont donnés par sk ak bk k ?? N Plus généralement pour tous réels ? et ?A B est un E polynôme dont les coe cients sont donnés par ? C ak bk k ?? N On véri e que d A B ? max d A d B et v A B ? min v A v B ? Les B polynômes A et B sont égaux si leur di érence est le polynôme nul Cela E revient à dire que tous leurs coe cients sont égaux ? Le produit de A et B est E un polynôme P dont les coe cients notés pk k ?? N sont k donnés par pk C ai bk ??i i On véri e que d A B d A d B