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Corrigetd2 2 1 École Nationale Polytechnique Département des Classes Préparatoires Analyse Mathématique Corrigé Série TD Analyse Vectorielle Partie Champs de Vecteurs Exercice Soit le champ de vecteurs donné par ?? ? F x y z x ?? ? i y ?? ? j z ?? ? k ??

École Nationale Polytechnique Département des Classes Préparatoires Analyse Mathématique Corrigé Série TD Analyse Vectorielle Partie Champs de Vecteurs Exercice Soit le champ de vecteurs donné par ?? ? F x y z x ?? ? i y ?? ? j z ?? ? k ?? ? Calculer la divergence et le rotationnel de F ?? ? Justi ?er que F est un champ de gradient Corrigé Exo ?? ? Calcul de la divergence et du rotationnel de F Soit un champ de vecteurs donné par ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? F x y z Fx i Fy j Fz k Par dé ?nition ?? ? a La divergence de F est calculé par ?? ? ?? F ?? ? div F ? Fx ? x ? Fy ? y ? Fz ? z b Le rotationnel de est calculé par ?? ? ?? ? ij ?? ?? ?? ? F r ?? ?ot ?? ?F ? ? ? x ? y Fx Fy ?? ? k ? ? z ? Fz ? y ?? ? Fy ? z ?? ? i ?? ? Fz ? x ?? ? Fx ? z ?? ? j ? Fy ? x ?? ? Fx ? y ?? ? k Fz Dans cet exercice on a ?? ? F x y z ?? ? Fx i ?? ? Fy j ?? ? Fz k x ?? ? i y ?? ? j z ?? ?k Donc ?? ? div F x y z r ?? ?ot ?? ?F ?? ?? ? i ?? ?? ? j ?? ?? ? k ?? ? ?? ? Justi ?ons de F est un champ de gradient Sachant que r ?? ?ot ??g ??r ?ad f ?? ? pour tout champ scalaire f et comme on a trouvé que r ?? ?ot ?? ?F ?? ? alors ?? ? ?? ?? ? ?? ? on peut trouver un champ scalaire f tel que F grad f Donc F est un champ de gradient de potentiel f ?? ? Remarque Pour véri ?er que F est un champ de gradient ou champ conservatif il suf ?t de véri ?er que son rotationnel est nul r ?? ?ot ?? ?F ?? ? CAnalyse Vectorielle ENP Département des Classes Préparatoires Exercice ?? ? On considère le champ de vecteurs F donné par ?? ?F x y z z ?? ? sin y i xz ?? ? cos y j xz ?? ? sin y k ?? ? Véri ?er que le champ F est conservatif ?? ? Déterminer un potentiel de F Corrigé Exo ?? ? On considère le champ de vecteurs F donné par ?? ? F x y z z ?? ? sin y i xz ?? ? cos y j xz ?? ? sin y k ?? ? Pour véri ?er que le champ F est conservatif on doit calculer son rotationnel r ?? ?ot ?? ?F ? x zxcz ? osysin y y ??