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Chapitre 2 Chapitre Variables aléatoires - Variable aléatoire discrète -Notion d ? une variable aléatoire discrète Dé ?nition Une grandeur numérique X prenant lors d ? une expérience aléatoire des valeurs x x xn avec des p p pn est une variable aléatoire

Chapitre Variables aléatoires - Variable aléatoire discrète -Notion d ? une variable aléatoire discrète Dé ?nition Une grandeur numérique X prenant lors d ? une expérience aléatoire des valeurs x x xn avec des p p pn est une variable aléatoire discrète Exemple ? Un jeu de hasard consiste à lancer un dé équilibré à faces Le lanceur gagne la somme double de la valeur de la face obtenue si celle-ci est paire sinon il perd le double de la valeur indiquée par le dé ? On appelle le gain positif ou négatif du joueur après un lancer Ici l ? ensemble des issues possibles est ? On a dé ?ni avec une variable aléatoire réelle telle que ENSAS - C -Loi de probabilité d ? une variable aléatoire discrète Dé ?nition La loi de probabilité de la variable aléatoire X est la fonction f qui a chaque valeur associe sa probabilité Remarque En général on présente la loi d ? une variable aléatoire X sous la forme d ? un tableau qui récapitule les valeurs prises par X ainsi que les probabilités associées Dans tout le reste du chapitre on considèrera la variable aléatoire discrète de loi Exemple On reprend l ? énoncé de l ? exemple précédent La loi de X est donnée par Remarque On note que pour chacun de ces tableaux la somme des probabilités élémentaires fait en accord avec l ? un des axiomes des probabilités ENSAS - C - Fonction de répartition d ? une variable aléatoire discrète Dé ?nition Soit X une variable aléatoire La loi de probabilité de X est dé ?nie par la fonction appelée fonction de répartition de la variable X dé ?nie par ? x ? P ? x ? On dit que deux variables aléatoires et ont la même loi si elles ont la même fonction de répartition Remarque La fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète est une fonction en escalier croissante de à ENSAS - C -Espérance d ? une variable aléatoire Dé ?nition Soit X une variable aléatoire discrète on appelle espérance de la variable aléatoire X le réel noté E X qui vaut Remarque Ce nombre important en probabilités représente la valeur moyenne de la variable aléatoire X Dé ?nition Soit X une variable aléatoire discrète d ? espérance E X On appelle variance de la variable aléatoire X le réel noté V X qui vaut ? On appelle écart-type de X le réel noté X dé ?ni par ENSAS - CThéorème De Koenig Propriété ? La variance et l ? écart-type d ? une variable aléatoire réelle X sont des nombres positifs ? L ? écart-type mesure la dispersion des valeurs d ? une variable aléatoire par rapport à son espérance ? Si X est exprimé dans un certaine unité X l ? est dans la même unité I - Transformation a ?ne d ? une variable aléatoire Propriété Soit X une variable aléatoire discrète admettant une espérance et une variance alors pour