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Chapitre 3 1 chapitre ENSEMBLES CONVEXES DANS R - FONCTIONS CONCAVES - FONCTIONS CONVEXES D ?e ?nitions De ? ?nition Un sous-ensemble C de R est dit convexe si pour tout couple de points de C le segment de droite joignant ces points est contenu dans C Ill

chapitre ENSEMBLES CONVEXES DANS R - FONCTIONS CONCAVES - FONCTIONS CONVEXES D ?e ?nitions De ? ?nition Un sous-ensemble C de R est dit convexe si pour tout couple de points de C le segment de droite joignant ces points est contenu dans C Illustration C convexe C n ? est pas convexe D ?e ?nition ?equivalente C est convexe ssi ??A B ?? C AB ? C Soit D ?? AB A ?? ?? ?? ?? D ?? ?? ?? ?? ?? B doncD A ?B avec ? ?? A a a et B b b ?? ? A ?B D ?? ? ?? AB B ??A donc D A ? B ??A Dire que ??A B ?? C AB ? C ? ?? ??A B ?? C tous les points de A B sont dans C Or tout point de AB s ? ?ecrit D ?? ? A ?B ?? ? ?? Autre d ?e ?nition C est convexe ssi ??A B ?? C ?? ? ?? ?? ? A ?B ?? C Fonctions concaves sur un intervalle De ? ?nition La fonction f I ?? ? R est dite concave si C x y ?? R y ? f x est convexe avec x ?? I UCAD Facult ?e des Sciences Economiques et de Gestion FASEG Ann ?ee - Premi ere ann ?ee Cours de Math ?ematiques Diaraf SECK version C Autre D ?e ?nition ?equivalente f I ?? ? R est concave ssi ?? ? ?? ??x y ?? I f ?x ?? ? y ? ?f x ?? ? f y Illustration Remarque La concavit ?e de f est dite stricte si ??x y ?? I ?? ? ?? alors f ?x ?? ? y ? f x ?? ? f y Exemple f I ?? ? R x ?? ? ax b a b ?? R f est elle concave OUI En e ?et ??x y ?? I ?? ? ?? f ?x ?? ? y a ?x ?? ? y b ?? ? ax ?? ? ay b mais b ? b ? ?? ? b donc b ?b ?? ? b d ? ou f ?x ?? ? y ?ax ?? ? ay ?b ?? ? b ? ax b ?? ? ay b f ?x ?? ? y ? f x ?? ? f y Propriet ?es et Th ?eoremes Lemme Soit f I ?? ? R I un intervalle f une fonction concave Soit x y z ?? I avec x y z Alors on a les in ?egalit ?es suivantes f z ?? f y f z ?? f x ? z ??y z ??x f z ?? f x f y ?? f x ? z ??x y ??x C PROPRIETE ?S ET THE ?OREMES Remarque Ces in ?egalit ?es sont strictes si la concavit ?e est stricte Illustration Propri ?et ?e Soit f une fonction concave sur a b ?? I a b et ? ?? tels