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Cours de logique des predicats

Langage de la logique des prédicats Introduction et motivation En logique propositionnelle on se limite à des connecteurs propositionnels connecteurs associant des propositions et non des variables et des propositions Ceci ne permet pas de rendre compte de raisonnements comme le suivant TOUT être humain est mortel OR Socrate est un être humain DONC Socrate est mortel Ce raisonnement repose sur une analyse plus ?ne des énoncés en termes d'énoncés génériques tout être humain est ' et énoncés singuliers Socrate est ' Il utilise les notions d'objet et de propriété des objets On écrit les propriétés d'objets sous la forme être-humain Socrate Socrate est l'objet et être-humain est la propriété C'est un énoncé singulier Les énoncés génériques nécessitent l'emploi du quanti ?cateur universel ?? Ainsi TOUT être humain est mortel '' peut être traduit comme ??x être- humain x - mortel x Une notion plus générale que celle de propriété est celle de prédicat qui permet d'exprimer une relation entre plusieurs objets comme père Jean Pierre ou pluspetitque Un prédicat a zéro un ou plusieurs arguments Les variables propositionnelles peuvent être vus comme des prédicats à zéro arguments La logique des prédicats est aussi appellée logique des prédicats du premier ordre par oposition à la logique des prédicats de second ordre qui admettent la quanti ?cation non seulement sur des objets mais aussi sur des prédicats ce qui leur permet de représenter la théorie des ensembles la logique propositionnelle peut être vue comme logique des prédicats d'ordre zéro Dé ?nition alphabet L'alphabet de la logique des prédicats est constitué de un ensemble dénombrable de symboles de prédicats à ou plusieurs arguments notés p q r homme mortel père un ensemble dénombrable de variables d'objets ou variables d'individu notées x y z x x un ensemble dénombrable de fonctions à ou plusieurs arguments notées f g père-de les quanti ?cateurs ?? ?? les connecteurs FALSE ?? ?? - ainsi que les parenthèses de la logique propositionnelle Notation Q dénote un quanti ?cateur quelconque c-à-d ?? ou ?? Les fonctions à arguments sont appellées constantes et sont notés sans parenthèses a b Socrate Même chose pour les prédicats à arguments qui ne sont rien d'autre que des variables propositionnelles CDé ?nition terme L'ensemble des termes est le plus petit ensemble de mots construits sur l'alphabet de la logique des prédicats tel que toute variable est un terme f t tn est un terme si f est une fonction à n arguments et t tn sont des termes Dé ?nition formule Si p est un prédicat à n arguments et t tn sont des termes alors p t tn est une formule atomique L'ensemble FOR des formules ou formules bien formées de la logique des prédicats est alors dé ?ni de la même manière qu'en logique propositionnelle en rajoutant une clause pour les quanti ?cateurs Q x A est une formule si Q est un quanti ?cateur x une variable et A une formule Dé ?nition plus explicite des formules Dé ?nition L'ensemble