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Pour un suivi en arithmitique

I R E M de Toulouse Pour un suivi en arithmétique de la Troisième à la Terminale Groupe Second Cycle Bernard Destainville Sophie Dupuy - Touzet Marc Ducret Jean-Marc Gibert Alain Viet Bernard Vinter C CSommaire PRÉLIMINAIRE Arithmétique maths hermétiques INTRODUCTION Partie - Constats Analyse de tests A Premier test à propos du PGCD B Second test raisonnements en arithmétique Erreurs classiques A Erreurs liées à un problème de langage B Erreurs liées au statut des nombres C Erreurs dues à une méconnaissance de l ? enjeu D Autres erreurs Pratique arithmétique A Les matériaux ? B Les techniques C La logique D Apprendre à ré échir Partie - Les raisonnements en arithmétique Un problème de sensibilisation La diversité des formes de raisonnement A Raisonnement exhaustif B Raisonnement par disjonction des cas C Raisonnement par récurrence D Raisonnement par l ? absurde E Raisonnement par contraposition F Raisonnement par utilisation d ? un contre-exemple et recherches complémentaires Partie - Des algorithmes en arithmétique Ranger n nombres dans l ? ordre croissant Comparer des nombres A Comparer deux entiers naturels en numération décimale B Comparer deux nombres en écriture fractionnaire Tester si un nombre est premier Des algorithmes du PGCD de deux entiers naturels et leurs applications A Des algorithmes B Trois applications classiques de l ? algorithme d ? Euclide Partie - Des problèmes pour améliorer la situation Calculs simples A Calculs sur les fractions retombées algébriques B Ré exion sur la notion de diviseur et de multiple Problèmes liés à la numération décimale Parité A A propos de la parité de deux entiers consécutifs B D ? autres exercices à propos de la parité C Division euclidienne Divisibilité - Approche du théorème de Gauss Apprendre à reconna? tre une situation arithmétique Triplets pythagoriciens À propos de l ? équation diophantienne ax by c CONCLUSION Bibliographie Annexes Irem de Toulouse CPRÉLIMINAIRE ARITHMETIQUE MATHS HERMETIQUES On associe parfois l ? arithmétique à la cryptographie et son domaine d ? expression se réduit souvent à quelques problèmes réalistes ? de carreleur ou autres métiers d ? assemblage Cela ne para? t ni vraiment pertinent ni très stimulant Par ailleurs quel enseignant ne constate pas tous les jours les di ?cultés de ses élèves à ma? triser des fondamentaux comme le calcul algébrique la rigueur des raisonnements pourtant nécessaires à la structuration des savoirs et savoir-faire Or nous pensons que l ? arithmétique loin d ? être un art hermétique pourrait par la diversité des problèmes qu ? elle propose prolonger l ? activité sur les nombres engagée en primaire et ancrer solidement chez l ? élève les règles de calcul dont la connaissance est devenue trop souvent approximative peut-être par un usage précoce et généralisé de machines auxquelles les élèves délèguent de façon abusive l ? intelligence des calculs Alors quand ces dernières ne sont plus utilisables comme pour un calcul littéral l ? élève révélant ses carences commet de nombreuses erreurs décourageantes et nuisibles à son travail de fond Mais nous