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Cours de mathematique analyse dans z

ARITHMÉTIQUE DANS Z Algèbre ATIAMPO KODJO ARMAND UVCI CTable des matières C CObjectifs À la ?n de cette leçon vous serez capable ? Comprendre l'arithmétique des nombres entiers notamment la division euclidienne ? Manipuler les notions de PGCD de PPCM et de nombre premier ? Résoudre les équations algébriques CIntroduction Cette leçon présente les concepts de base de l'arithmétique et va nous permettre d'illustrer les raisonnements présentés des précédentes leçons Les notions présentées trouvent leur usage dans la résolution d'équation et dans la conception d'algorithme de calcul CDivision I I- Euclidienne Objectifs A la ?n de ceste section l ? étudiant sera capable de Identi ?er les nombres premiers Manipuler la division euclidienne dan Z Il s'agit de formaliser avec précision la bonne vieille division euclidienne celle que vous connaissez depuis l'école primaire A Divisibilité On appelle entier ou entier relatif c'est-à-dire positif ou négatif tout élément de Z ?? ?? ?? Soient d et n des entiers naturels On dit que d divise n et on note d n si ??k ?? N n dk On dit aussi que d est un diviseur de n et que n est un multiple de d Exemple ? on en déduit que divise resp divise et est un multiple de resp de On appelle nombre premier tout nombre entier naturel ayant exactement deux diviseurs et lui-même Exemple sont des nombres premiers car ils n'ont aucun diviseur à part euxmêmes et CDivision Euclidienne Attention n'est pas un nombre premier Dé ?nition Soient a et b des entiers naturels avec b ?? Il existe un unique couple d'entiers n r ?? N ? N tel que a nb r et ? r b Cette égalité est appelée division euclidienne de a par b n est le quotient de la division et r en est le reste Dé ?nition On dit que deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux s'ils n'ont aucun diviseur commun hormis ??d ?? N d a et d b ?? d Exemple Les entiers et sont premiers entre eux En e ?et l'ensemble des diviseurs de est l'ensemble A - - - L'ensemble des diviseurs de l'entier est B - - - Comme on le voit ni ne sont des nombres premiers mais ils sonr premiers entre eux car leur seul diviseur commun est B Exercice Parmi les assertions suivantes lesquelles sont véri ?ées - est un nombre premier Solution n p Un nombre premier est un nombre impair L'ensemble des diviseurs de est - - L'ensemble des nombres premiers est un ensemble ?ni Les entiers et sont premiers entre eux Soient a et b deux entiers premiers entre eux alors a ou b est un nombre premier CDivision Euclidienne C Exercice Parmi les assertions suivantes lesquelles sont véri ?ées La relation divise n'est pas une relation d'ordre dans Z La relation divise est une relation d'ordre dans N La relation divise est transitive dans Z Aucune des a ?rmations précédentes n'est vraie Solution n p CPGCD PPCM