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Cours d x27 algebre pour la licence et le capes

Cours d ? algebre pour la licence et le Capes Jean-Étienne ROMBALDI juillet Cii CTable des matières Avant-propos v Notation vii Éléments de logique et de théorie des ensembles Quelques notions de logique Les connecteurs logiques de base Quelques méthodes de raisonnement Notions de base sur les ensembles Quanti ?cateurs Les symboles et Les théorèmes de récurrence L ? algèbre des parties d ? un ensemble Applications Notions d ? injectivité surjectivité et bijectivité Cardinal d ? un ensemble ?ni Ensembles in ?nis dénombrables Le corps C des nombres complexes Conditions nécessaires à la construction de C Construction de C Conjugué et module d ? un nombre complexe Les équations de degré Les équations de degré et Arguments d ? un nombre complexe Racines n-ièmes d ? un nombre complexe Représentation géométrique des nombres complexes Espaces vectoriels réels L ? espace vectoriel Rn Dé ?nition d ? un espace vectoriel réel Sous-espaces vectoriels Applications linéaires La base canonique de Rn et expression matricielle des applications linéaires de Rn dans Rm Matrices réelles Opérations sur les matrices Matrices inversibles Déterminant d ? une matrice d ? ordre Transposée d ? une matrice Trace d ? une matrice carrée iii Civ Systèmes d ? équations linéaires Sommes et sommes directes de sous-espaces vectoriels Espaces vectoriels réels de dimension ?nie Systèmes libres systèmes générateurs et bases Espaces vectoriels de dimension ?nie Rang d ? un système de vecteurs ou d ? une application linéaire Expression matricielle des applications linéaires Formules de changement de base Opérations élémentaires et déterminants Opérations élémentaires Matrices de dilatation et de transvection Déterminants des matrices carrées Déterminant d ? une famille de vecteurs Déterminant d ? un endomorphisme CAvant-propos Ce livre est en construction Cet ouvrage destiné aux étudiants préparant le Capes externe de Mathématiques et aux enseignants préparant l ? agrégation interne fait suite au livre Éléments d ? analyse réelle pour le Capes et l ? Agrégation Interne de Mathématiques ? v C CNotations N Z Q R C z z K X Cnp ensemble des entiers naturels l ? anneau des entiers relatifs corps des nombres rationnels corps des nombres réels corps des nombres complexes partie réelle du nombre complexe z partie imaginaire du nombre complexe z algèbre des polynômes à une indéterminée à coe ?cients dans K R ou C coe ?cient binomial vii C C Éléments de logique et de théorie des ensembles Pour les exemples et exercices traités dans ce chapitre les ensembles usuels de nombres entiers rationnels réels et complexes sont supposés connus au moins de manière intuitive comme cela se passe au Lycée Nous reviendrons plus loin sur les constructions de ces ensembles Quelques notions de logique Nous allons préciser à un premier niveau quelques notions mathématiques qui sont relative- ment intuitives mais nécessitent quand même des dé ?nitions rigoureuses L ? idée étant de préciser schématiquement comment se présente une théorie mathématique ainsi que la notion essentielle de démonstration La première notion est celle d ? assertion De manière intuitive