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Bernard Dacorogna a uregemévudeeinteitoétne INTRODUCTION AU CALCUL DES VARIATIONS avec exercices corrigés CIntroduction au Calcul des Variations Bernard Dacorogna Civ CTable des matières Préface à la deuxième édition française xi Introduction Quelques commentaires historiques Le problème modèle et quelques exemples Présentation du contenu de l ? ouvrage Préliminaires Introduction Espaces de H? lder Notations et espaces de fonctions continues Fonctions H? lder continues Exercices Espaces Os F Dé nitions et premières propriétés Convergence faible et théorème de Riemann-Lebesgue Le lemme fondamental du calcul des variations Exercices Espaces de Sobolev F Dé nitions et premières propriétés Quelques propriétés supplémentaires Théorèmes d ? immersion et d ? immersion compacte Extension de fonction dans les espaces de Sobolev Inégalité de Poincaré Exercices Analyse convexe Exercices v Cvi TABLE DES MATIÈRES Les méthodes classiques Introduction Equation d ? Euler-Lagrange Le théorème principal Quelques cas particuliers importants Le phénomène de Lavrentiev Exercices Deuxième forme de l ? équation d ? Euler-Lagrange Exercices Formulation hamiltonienne Un lemme technique Le théorème principal et quelques exemples Exercices Equation de Hamilton-Jacobi Exercices Théories des champs Un cas simple Champs exacts et théorème de Hilbert Exercices Les méthodes directes existence Introduction Le cas modèle l ? intégrale de Dirichlet Exercices Un théorème général d ? existence Le théorème principal et quelques exemples Démonstration du théorème principal Exercices Equation d ? Euler-Lagrange Le cas régulier Le théorème principal et sa démonstration Quelques exemples Exercices Le cas vectoriel Le théorème principal Continuité faible du déterminant Démonstration du théorème principal Exercices Relaxation Le théorème de relaxation Quelques exemples Exercices CTABLE DES MATIÈRES vii Les méthodes directes régularité Introduction Le cas unidimensionnel Un cas simple Deux théorèmes généraux Exercices E La méthode des quotients di érentiels régularité intérieure Préliminaires L ? intégrale de Dirichlet Un cas plus général Exercices E La méthode des quotients di érentiels régularité jusqu ? au bord Exercice Régularité supérieure pour l ? intégrale de Dirichlet Exercices Lemme de Weyl Exercices Quelques résultats généraux Exercices Surfaces minimales Introduction Généralités sur les surfaces F Dé nitions et exemples Surface minimale et surface d ? aire minimale Coordonnées isothermes Exercices La méthode de Douglas-Courant-Tonelli Exercice Régularité unicité et non unicité Surface minimale non paramétrée Remarques générales Le théorème de Korn-Müntz Exercice L ? inégalité isopérimétrique Introduction Le cas de la dimension Inégalité de Wirtinger L ? inégalité isopérimétrique Stabilité de l ? inégalité isopérimétrique Exercices Cviii TABLE DES MATIÈRES Le cas de la dimension q La formule de Minkowski-Steiner Le théorème de Brunn-Minkowski L ? inégalité isopérimétrique en dimension q Démonstration du théorème de Brunn- Minkowski Exercices Corrigés des exercices Chapitre Préliminaires Espaces de H? lder Espaces Os Espaces de Sobolev Analyse convexe Chapitre Les méthodes classiques Equation d ? Euler-Lagrange Deuxième forme de l ? équation d ? Euler-Lagrange Formulation hamiltonienne Equation de Hamilton-Jacobi Théories des champs Chapitre Les méthodes directes existence Le cas modèle l ? intégrale de Dirichlet Un théorème général d ? existence Equation d ? Euler-Lagrange Le cas vectoriel Relaxation Chapitre Les méthodes directes régularité Le cas