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Raisonnements mathematiques

Raisonnements mathématiques Omar Mouchtaki Voyons quelques types de raisonnement classiques qu ? on peut utiliser en mathématiques Le raisonnement par récurrence Dans la plupart des domaines mathématiques il faut souvent démontrer des propositions sur tous les entiers Pour ce faire il est parfois intéressant de suivre un raisonnement de proche en proche L ? idée est qu ? on va s ? aider du fait que la proposition est vraie pour un entier n a ?n de la montrer pour l ? entier suivant n C ? est ce qu ? on appelle le raisonnement par récurrence Le formalisme mathématique est le suivant On note P n une propriété qui dépend de n Par exemple P n si n est premier alors n est impair ? Nous voyons que la proposition P est vraie pour tous les entiers sauf pour puisque est premier et pair Si nous voulons montrer pour tout n appartenant à N que la proposition P n est vraie le principe de récurrence nous indique qu ? il su ?t d ? e ?ectuer les deux étapes suivantes ?? Initialisation On véri ?e que P est vraie Remarquons qu ? il ne s ? agit pas forcément de P mais de P n o? n est le premier entier pour lequel la propriété est vraie ?? Hérédité On suppose que P n est vraie et on montre qu ? alors P n est vraie P n doit nous servir à démontrer P n Remarque Pour mieux comprendre ce qu ? est un raisonnement par récurrence il peut être utile de garder en mémoire l ? image suivante Supposons que nous soyons devant une échelle in ?nie et que je veuille vous démontrer que je suis capable de grimper arbitrairement haut Une mauvaise idée consisterait à monter les échelons les uns après les autres car je n ? arriverais jamais au sommet de l ? échelle en temps ?ni Néanmoins si je vous montre que je suis capable de me mettre sur une marche de l ? échelle la première par exemple et si je vous montre qu ? à partir d ? une marche quelconque je sais passer à la marche suivante alors vous pourrez considérer que je sais gravir une échelle in ?nie Le fait de savoir monter sur la première marche symbolise l ? initialisation et le fait de savoir passer d ? une marche à la suivante représente l ? hérédité Exemple La suite un n ??N est dé ?nie par u ?? R ??n ?? N ? un un Calculer un en fonction de u et de n Reprenons l ? image précédente Pour trouver comment monter à l ? échelle il est bon de s ? intéresser aux premières marches Autrement dit on doit d ? abord tester les premières valeurs C n pour savoir ce qu ? on veut démontrer C ? est une démarche importante dans toute résolution de problème Ici on a Avec les u u u u u