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Variables aleatoires discretes

Probabilités Appliquées Variables aléatoires discrètes L Horchani N Chaouachi E N S I E N S I II Probabilités Appliquées C Rappel sur les manipulations de séries Dé ?nition Loi de probabilité d ? une variable aléatoire Variables aléatoires indépendantes Fonction de répartitions Couple de variables aléatoires Paramètres d ? une variable aléatoire Fonction génératrice Lois discrètes usuelles Loi de Bernoulli Loi Binomiale Loi géométrique Loi de Poisson E N S I II Probabilités Appliquées CI-Rappel sur les manipulations de séries n Une série an est convergente si la suite ai est convergente La n ??N i n valeur de la série est la limite de la suite ai On dit qu ? une série an i n ??N est absolument convergente si la série an est convergente n ??N Théorème Fubini Si la serie a n p est convergente alors on a n p ??N F EB F F F EB F F F ED F F F ED F F a n p a n p a n p n p ??N n ??N p ??N p ??N x ??N E N S I II Probabilités Appliquées CProposition Convergence dominée Soit a n p n ? p ? une suite telle que pour tout n ? p ? a n p ? bn On suppose de plus que pour tout n ? lim p ? ? a n p existe Si la série à termes positifs bn est absolument convergente alors on a n ??N lim p ? ? a n p lim p ? ? a n p n ? n ? On se place maintenant sur R ou C Soit an n ?? N une suite de nombres complexes La série entière associée à la suite an n ?? N est la série anzn z ?? C Le rayon de n ??N convergence de la série entière est dé ?ni par R sup r an r n est convergente n ??N E N S I II Probabilités Appliquées CProposition Si z R alors la série anzn diverge trivialement la suite anzn n ??N n ? est pas bornée Si z R alors la série anzn est absolument convergente n ??N Soit r R La série anzn est normalement convergente sur n ??N z ?? C z ? r E N S I II Probabilités Appliquées CLemme rappel de quelques formules Soit q un réel tel que q n qi ?? qn i ??q ? qi i ??q ? iq i ?? i ?? q E N S I II Probabilités Appliquées CII-Dé ?nition Dans toute la suite de ce module nous travaillerons sans le spéci ?er nécessairement systématiquement sur un espace de probabilité P Nous pourrons également considérer sans inquiétude que toutes les parties de qui nous intéressent sont des événements i e sont dans Dé ?nition Soit une application X ? X o? X ? R X est une variable aléatoire réelle si et seulement si pour tout réel x ?? R l ? image