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16 ds 2 avec Univ Lille - Licence Informatique S S H ème année Mathématiques Discrètes - Devoir surveillé no ?? le janvier Prenez le temps de lire ce sujet Ce devoir comporte exercices Les questions sont indépendantes pour la plupart L ? énoncé est un peu

Univ Lille - Licence Informatique S S H ème année Mathématiques Discrètes - Devoir surveillé no ?? le janvier Prenez le temps de lire ce sujet Ce devoir comporte exercices Les questions sont indépendantes pour la plupart L ? énoncé est un peu long mais le barème est sur points Exercice points Un restaurant propose sur sa carte ??une farandole de desserts ? le consommateur doit choisir cinq desserts parmi les six desserts suivants dame blanche gueule noire orange givrée tarte au sucre brun bavarois à la violette crème aux marrons Les répétitions sont autorisées On peut donc faire le choix de prendre ??par exemple ?? quatre dames blanches et une gueule noire Q point Combien de choix di ?érents sont possibles Éléments de réponse Il y avait deux manière de comprendre le sujet implicitement on ne souhaitait pas tenir compte de l ? ordre et on considerait que les plats de la farandole étaient servis en même temps Certain ont fait le choix de tenir compte de l ? ordre ces réponses pourvu qu ? elles soient cohérentes ont été admises variétés de desserts donc barres pour séparer les variétés choix à faire donc points Q point Marie-Paule aime le parfum de la violette elle souhaite choisir un dessert o? il y a au moins deux fois du bavarois à la violette Combien a-t- elle de choix di ?érents Éléments de réponse elle choisit déjà deux bavarois à la violette et elle complète les desserts restants variétés de desserts donc barres pour séparer les variétés choix à faire donc points Q point Renaud souhaite éviter de prendre trois fois ou plus le même plat Combien a-t-il de choix Éléments de réponse ?? soit il prend au plus une fois chaque plat il y a manières de le faire ?? soit il prend un plat deux fois et trois autres plats il y a ?? soit il prend deux plats deux fois et un autre plats il y a au total cela fait Exercice points Q point Soit S une partie de N de cardinal au moins Prouvez qu ? il existe deux éléments x y de S tels que x y soit pair Éléments de réponse la somme de deux entiers de même parité donne un entier pair On classe les éléments de S en deux classes les entiers pairs et les entiers impairs Comme il y a au moins trois éléments dans S l ? une des deux classes contient au moins deux éléments Il y a donc dans S deux entiers de même parité Q point On considère maintenant une partie de N ? N Quel est le nombre minimal d ? éléments de S permettant de garantir l ? existence de x x et y y deux éléments de S tels que les deux sommes x y et x y soient paires Éléments de réponse COn reproduit le même raisonnement mais on fait cette fois ci classes ?? PP les couples dont les deux composantes sont