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Cours courbes parametrees 8

c Christophe Bertault - MPSI Courbes paramétrées Dans tout ce chapitre I J sont des intervalles de R On appellera adhérence de I et on notera I l ? intervalle I augmenté de ses bornes qui éventuellement ne lui appartiennent pas Par exemple et ? ? Quand on écrira Soit f x y I ?? ? R une application ? cela signi ?era que f est une fonction dé ?nie sur I à valeurs dans R donnée avec ses coordonnées de sorte que pour tout t ?? I f t x t y t Préliminaires sur les fonctions de R dans R Explication Comment représenter graphiquement une fonction de R dans R On représente les fonctions de R dans R comme des courbes au moyen d ? un axe R en abscisse et d ? un axe R ordonnée On représente les fonctions de R dans R comme des surfaces au moyen d ? un plan R en abscisse et d ? un axe R en ordonnée De la même manière on peut représenter les fonctions de R dans R comme des courbes au moyen d ? un axe R en abscisse et d ? un plan R en ordonnée y Fonction de R dans R z z sin x y Fonction de R dans R x x y cos x x x x y Fonction de R dans R t x cos t y sin t Pourtant ce n ? est pas ainsi que nous allons aborder graphiquement les fonctions de R dans R f ? y La fonction f t ?? ? cos t sin t représentée ci-dessus comme une courbe de l ? espace en l ? oc- currence une spirale est aussi la fonction que nous avons utilisée pour paramétrer le cercle trigonométrique Pour tout point M x y ?? R M appartient au cercle trigonométrique ? ?? x y ? ?? ?? t ?? R M f t La même fonction qu ? on a représentée ci-dessus comme une spirale est ici représentée par un cercle que l ? on envisage comme la trajectoire d ? un point C ? est ce point de vue précisément que nous allons adopter dans tout ce chapitre f ? f ? x f Dé ?nition Limite d ? une fonction de R dans R Soient f I ?? ? R une fonction a ?? I et ? ?? R Les assertions suivantes sont équivalentes i lim f t ?? ? t ?a ii lim x t ?x et lim y t ?y t ?a t ?a On dit dans ce cas que f admet ? pour limite en a On peut montrer que si elle existe la limite de f en a est unique On la note alors lim f ou lim f t On utilise a t ?a aussi souvent la notation suivante f t ?? ? ? ou f ?? ? ? t ?a a Explication La limite lim f t ? ? est un nouveau