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Espaces vectoriels chap21 - Fiches de mathématiques MPSI Espaces vectoriels Olivier Sellès transcrit par Denis Merigoux Table des matières Dé ?nitions exemples faits de base Dé ?nitions et exemples Règles de calcul dans un K-espace vectoriel Combinaisons

- Fiches de mathématiques MPSI Espaces vectoriels Olivier Sellès transcrit par Denis Merigoux Table des matières Dé ?nitions exemples faits de base Dé ?nitions et exemples Règles de calcul dans un K-espace vectoriel Combinaisons linéaires familles libres liées génératrices Combinaisons linéaires Familles libres et liées Familles génératrices Bases Dé ?nition exemples Coordonnées Sous-espaces vectoriels Dé ?nition exemples Sous-espace vectoriel engendré par une partie Somme de sous-espaces vectoriels Petite histoire Généralisation Sommes directes Sous-espaces supplémentaires Applications linéaires Dé ?nition et exemples Relations avec les bases Homothéties Propriétés des applications linéaires Image d ? un sous espace vectoriel Image réciproque Injectivité et liberté Surjectivité et engendrement Composition des applications linéaires Réciproque d ? un isomorphisme Opérations sur les applications linéaires Construction Introduction aux K-algèbres Projecteurs et symétries Dé ?nition Exemple standard Propriétés de pF G Propriétés de sF G Forme générique des projecteurs et symétries Lycée Saint-Louis Espaces vectoriels Page CMPSI Fiches de mathématiques - Complément K-algèbres Théorème Applications Page Espaces vectoriels Lycée Saint-Louis C - Fiches de mathématiques MPSI Dé ?nitions exemples faits de base Dé ?nitions et exemples Dans la suite K est un corps Un K-espace vectoriel est un triplet pE ?q o? ?? E est un ensemble non-vide dont les éléments sont appelés vecteurs et se notent en minuscules latines parfois surmontées d ? une èche ?? est une loi de composition interne sur E ?? ? est une loi externe de domaine d ? opérateurs K c ? est en fait une application de E K dans E Ce triplet doit être tel que pE q est un groupe commutatif On notera E le vecteur nul élément neutre et pour x P E on notera ?x l ? opposé de x ? P K x P E p ? q ? x ?? ? ? x ? x ? P K x y P E ? ? px yq ?? ? ? x ? ? y ? P K x P E ? ? p ? xq ?? p ? q ? x x P E K ? x ?? x Les éléments de K sont appelés scalaires et se notent généralement avec des minuscules grecques Exemples Soit ? ?x E ?? ?? K pour p ? ? ? ? ?q x ?? p ? On véri ?e q ?uqeetKy ??p ? e stq uonnKp-oesspe axce vyec ??torpi el ? ? ? q et pour de neutre K ?? p q ? P K Plus généralement soit n P N ? pour x ?? p nq et y ?? p ? ? ?nq on pose x y ?? p ? ? n ?nq et pour ? P K ? ? x ?? p ? ? ? nq pKn ?q est ainsi un K- espace vectoriel pK rXs ?q est un espace vectoriel Soit X un ensemble non-vide pF pX Kq ?q est un K-espace vectoriel muni des lois usuelles sur les fonctions En particulier les ensembles de suites sont des K-espaces vectoriels Soit L un corps K